Intégration en mathématiques/Exercices/Généralité

Exercice 1-1

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle fermé borné $[a,b]$ ($a<b$). Quel est le signe de

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(t)+\lambda g(t){]}^2\mathrm{d}t$

où $\lambda$ désigne un nombre réel ?

En déduire l'inégalité suivante, appelée inégalité de Schwarz :

${[\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)g(t)\mathrm{d}t]}^2⩽\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(t){]}^2\mathrm{d}t\underset{a}{\overset{b}{\int }}[g(t){]}^2\mathrm{d}t$.

Aide : On pourra développer $\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(t)+\lambda g(t){]}^2\mathrm{d}t$, et la considérer comme un polynôme en $\lambda$, de degré inférieur ou égal à 2.

Exercice 1-2

Démontrer que, si $f$ et $g$ deux fonctions numériques continues, positives sur un intervalle $[a,b]$ ($a<b$) telles que, pour tout $x$ de $[a,b]$, $f(x)g(x)\ge 1$, alors :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x\ge (a-b{)}^2$.

Aide : On pourra utiliser l'exercice 1-1.

Exercice 1-3

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ ($a<b$), avec $g$ non constamment nulle. Démontrer que si $g$ garde un signe constant sur $[a,b]$ et si $m\le f\le M$, on a :

$m\le \frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)g(t)\mathrm{d}t}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(t)\mathrm{d}t}\le M$.

Exercice 1-4

Soit $f:[a,b]\to ℝ$ une fonction continue et soit $M=\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f(x)|$. On suppose que $a<b$ et que $M>0$. Pour tout entier $n>0$, on pose $\Vert f{\Vert }_n=\sqrt[n]{\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t){|}^n\mathrm{d}t}$.

1°  Prouver que $\Vert f{\Vert }_n\le M\sqrt[n]{b-a}$.

2°  Démontrer que, quel que soit le réel strictement positif $\epsilon$, il existe un intervalle non trivial (c'est-à-dire d'extrémités distinctes) $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b]$, sur lequel $|f|>M-\epsilon$.

En déduire que $\Vert f{\Vert }_n>(M-\epsilon )\sqrt[n]{\beta -\alpha }$.

3°  Démontrer que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f{\Vert }_n=M$.

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