Intégration de Riemann/Propriétés de l'intégrale

Modèle:Chapitre Modèle:Clr Du fait de la construction théorique proposée à la page précédente, chacune des propriétés sera démontrée pour les fonctions en escalier. Un « passage à la limite » suffit alors pour obtenir les résultats sur les fonctions continues par morceaux.

Dans tout ce chapitre, $f$ et $g$ sont des fonctions continues par morceaux sur $[a,b]$.

Modèle:Définition Interprétation graphique : $\mu$ est la valeur de la fonction constante qui aurait sur $[a,b]$ la même intégrale que $f$ .

La propriété qui suit est un corollaire bien pratique de la propriété « intégrale et ordre » :

On démontre en algèbre linéaire que l'application

$⟨\cdot ,\cdot ⟩:\begin{array}{ccc}𝒞ℳ([a,b])& \to & ℝ\\ (f,g)& \mapsto & ⟨f,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x\end{array}$

est un produit scalaire et l'on en déduit l'inégalité de Cauchy-Schwarz (ici énoncée pour les intégrales) :

Enfin, une dernière propriété des intégrales de fonctions continues :