Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison

Soient (comme au chapitre 2 sur les limites) $I$ une partie de $ℝ$ et $a\in ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$ un point adhérent à $I$. Par exemple :

• $I=$ un intervalle et $a=$ une extrémité (finie ou infinie) de cet intervalle ;
• $I=\mathbb{N}$ et $a=+\mathrm{\infty }$ (ce qui permet d'englober le cas des suites).

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $I$ dans $ℝ$. Modèle:Clr

Définitions : les notations de Landau

Modèle:Définition Lorsque $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, ces trois notions sont donc respectivement équivalentes à :

$\frac{f}{g}$ est bornée au voisinage de $a$, $\underset{a}{\lim }\frac{f}{g}=1$ et $\underset{a}{\lim }\frac{f}{g}=0$.

En particulier, pour tout réel $\ell \ne 0$, on a $f\sim a\ell$ si et seulement si $\underset{a}{\lim }f=\ell$. Modèle:Exemple

Multiplication

Modèle:Démonstration déroulante On en déduit par exemple que :

• $f\sim ag⟹f^n\sim a{g}^n$ pour tout entier naturel $n$ (et même tout entier relatif, si $g$ ne s'annule pas). Nous verrons plus loin une règle analogue pour un exposant non entier ;
• $f_1\sim a{f}_2\text{ et }{g}_1\sim a{g}_2⟹\frac{f_1}{g_1}\sim a\frac{f_2}{g_2}$, si $g_2$ ne s'annule pas.

Addition

On a cependant un cas favorable assez fréquent : Modèle:Proposition Référence pour le point 2 : Modèle:Ouvrage. Modèle:Démonstration déroulante

Composition

Soient $h:J\to I$ et $b$ adhérent à $J$. Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Exemple Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante