Fonctions d'une variable réelle/Continuité

Définition et interprétation géométrique

Interprétation géométrique « naïve »:

Une fonction continue est une fonction dont on peut tracer le graphe sans lever le crayon.

Exemples et contre-exemples :

• La fonction $f:x\mapsto x^2$ est continue sur $ℝ$.
• La fonction $g:x\mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur ${ℝ}^{*}$ mais pas en 0 (tout simplement parce qu'elle n'y est pas définie !).

Graphe de la fonction partie entière.

• La fonction partie entière n'est continue en aucun point de $\mathbb{Z}$.

  On rappelle que cette fonction $E$ est définie par :Modèle:CentrerElle a un graphique « en escalier » (voir illustration ci-contre) : par exemple, $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }E(x)=-1$ mais $E(0)=0$.

Remarque : Cette interprétation fonctionne bien dans la très grande majorité des cas, mais il existe des cas « pathologiques ». Par exemple, la fonction $f:ℝ\to ℝ$ définie par

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{si }x\in \mathbb{Q}\\ x,& \text{si }x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

n'est continue qu'en zéro (du fait de la densité de $\mathbb{Q}$ dans $ℝ$, on ne peut tracer la courbe de $f$ ).

Prolongement par continuité

Exemple : On connaît la limite $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}={\sin }^{\prime }(0)=\cos (0)=1$. Si la fonction $f:{ℝ}^{*}\to ℝ$ est définie par $f(x)=\frac{\sin x}{x}$, son prolongement par continuité en $0$ est donc :

$g:ℝ\to ℝ,x\mapsto \{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x},& \text{si }x\ne 0\\ 1,& \text{si }x=0.\end{array}$

Continuité et opérations

Les propriétés suivantes découlent directement des propriétés correspondantes pour les limites de fonctions (limites et opérations et limite d'une fonction composée). Modèle:Propriété

Théorèmes sur les fonctions continues

Voici trois théorèmes importants sur les fonctions continues réelles (ils possèdent des généralisations en topologie). Modèle:Théorème

En résumé : Modèle:Encadre

Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Théorème

En résumé : Modèle:Encadre

La fonction atteint ses bornes en c et d.

Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Théorème

On dit aussi que $f$ réalise un homéomorphisme entre $[a,b]$ et $J$. Le point essentiel de ce théorème est la continuité de la réciproque. Elle repose sur le lemme suivant, dont l'énoncé est rarement explicité mais figure dans Alain Mézard et Charles Delorme, Cours de mathématiques supérieures, vol. 2, PUF, 1994, p. 101 et 255. Modèle:Encadre