Intégration de Riemann/Exercices/Calculs de longueurs

Modèle:Exercice On utilisera que la longueur d'une courbe plane paramétrée $\gamma :[a,b]\to {ℝ}^2,t\mapsto \gamma (t)=(x(t),y(t))$ est

$L(\gamma )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert \mathrm{d}t=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{{(x^{\prime }(t))}^2+{(y^{\prime }(t))}^2}\mathrm{d}t$.

Exercice 2-1

Soit $R>0$. Calculer la longueur du cercle $C_R:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2+y^2=R^2\}$, paramétré par $[0,2\pi ]\to {ℝ}^2,t\mapsto (R\cos t,R\sin t)$. Modèle:Solution

Exercice 2-2

Soit $a\ge b>0$. Montrer que la longueur de l'ellipse $E_{a,b}:=\{(x,y)\in {ℝ}^2|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\}$ est égale à

$L_{a,b}:=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sqrt{a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t$

(il s'agit d'une intégrale elliptique, qu'on ne demande donc pas de calculer). Modèle:Solution

Soit $R>0$. On s'intéresse aux ellipses $E_{a,b}$ pour $ab=R^2$ (ce sont toutes celles délimitant un domaine de même aire $\pi R^2$, cf. [[../Calculs d'aires#Exercice 3-3|Exercice 3-3]]).

On veut montrer que celle de longueur minimale est le cercle $E_{R,R}$. On note donc, pour tout $a\ge R$ :

$\ell (a):=L_{a,\frac{R^2}{a}}=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{h}_t(a)\mathrm{d}t$, avec $h_t(a):=\sqrt{a^2{\sin }^{2}t+\frac{R^4{\cos }^{2}t}{a^2}}$.

1. Montrer que pour tous réels positifs $\alpha ,\beta$, la fonction

   $h:{ℝ}_{+}^{*}\to ℝ,x\mapsto \sqrt{x^2\alpha +\frac{\beta }{x^2}}$

   a une dérivée seconde constamment positive.

2. En déduire que $\mathrm{\forall }t\in ℝ\mathrm{\forall }a\ge R{h}_t(a)\ge h_t(R)+(a-R)h{\text{'}}_t(R)$.
3. En déduire que $\mathrm{\forall }a\ge R\ell (a)\ge \ell (R)$.

Exercice 2-3

Pour $s\ge 0$, on considère la fonction $f_s:[-1,1]\to ℝ,x\mapsto s(1-x^2)$.

1. Dessiner sa courbe représentative ${𝒞}_s$.
2. Calculer la longueur de cette courbe.
3. Calculer la longueur de la courbe $x\in [0,1],y=x^2$.

Exercice 2-4

1. Soit $a>0$. Calculer la longueur de l'astroïde $x=a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t$.
2. Soit $R>0$. Calculer la longueur d'une arche de cycloïde $x=R(t-\sin t),y=R(1-\cos t),t\in [0,2\pi ]$.

Exercice 2-5

1. Déterminer la longueur de la courbe $y=\sqrt{x}(1-\frac{x}{3})$ pour $0\le x\le 3$.
2. Calculer la longueur de la néphroïde paramétrée par $x=3\cos t-\cos (3t),y=3\sin t-\sin (3t),t\in [0,2\pi ]$.
3. Calculer la longueur de la courbe $(x,y,z)=(t^2,2t,\ln t),1\le t\le \mathrm{e}$.

Exercice 2-6

1. On considère une courbe plane définie par $x=r(\theta )\cos \theta ,y=r(\theta )\sin \theta ,\theta \in [a,b]$ où $r$ est une fonction CModèle:Exp sur $[a,b]$.
   Montrer que la longueur de cette courbe est $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{r^2(\theta )+(r^{\prime }{)}^2(\theta )}\mathrm{d}\theta$.
2. Calculer la longueur de la courbe d'équation polaire $r(\theta )=\cos \theta ,\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$.
3. Calculer la longueur de la cardioïde d'équation polaire $r(\theta )=1+\cos \theta ,\theta \in [-\pi ,\pi ]$.