Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées

Exercice 1

Soit un réel $a>0$.

1. Étudier et tracer la courbe paramétrée $x=a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t$.
2. Pour $t\in ]0,\frac{\pi }{2}[$, on note $A(t)$ et $B(t)$ les points d'intersection de la tangente à cette courbe au point $M(t)$ avec, respectivement, $(Ox)$ et $(Oy)$. Calculer la distance $A(t)B(t)$.

Exercice 2

Soit un réel $R>0$.

1. Un cercle $𝒞$, de rayon $R$, roule sans glisser sur l'axe $(Ox)$. On note $I$ le point de contact entre $𝒞$ et $(Ox)$ et $\mathrm{\Omega }$ le centre du cercle $𝒞$ ($I$ et $\mathrm{\Omega }$ sont donc mobiles). $M$ est un point donné de $𝒞$ (mobile, mais solidaire de $𝒞$). Déterminer un paramétrage par $t:=\widehat{M\mathrm{\Omega }I}$ de la courbe décrite par le point $M$.
2. Étudier et tracer la courbe paramétrée $x=R(t-\sin t),y=R(1-\cos t)$.

Exercice 3

1. On considèreModèle:Wikipédia

$x(\theta )=\sin (p\theta ),y(\theta )=\sin (q\theta ),\theta \in [0,2\pi ]$.

Dans les deux cas suivants, établir le double tableau de variations et tracer la courbe associée :

$\text{a) }p=1,q=2;\text{b) }p=2,q=3$.

2. Étudier et tracer la courbe paramétréeModèle:Wikipédia

$x=\frac{t}{1+t^4},y=\frac{t^3}{1+t^4}$.

En donner une équation cartésienne. Modèle:Solution

Exercice 4

Construire les courbes paramétrées :

1. $x=\frac{t^3}{{(t+1)}^2(t-1)},y=\frac{t^2}{t^2-1}$ ;
2. $x=(t+2){\mathrm{e}}^{1/t},y=(t-2){\mathrm{e}}^{1/t}$ ;
3. $x=(t-1)\ln |t|,y=(t+1)\ln |t|$ ;
4. $x=\frac{2t}{1+t^2},y=\frac{t+2}{1-t^2}$ ;
5. $x=\frac{t}{t^2-1},y=\frac{t+2}{{(t-1)}^2}$ ;
6. $x=\frac{t^3}{t^2-9},y=\frac{t(t-2)}{t-3}$ ;
7. $x=\frac{t^3}{1+3t},y=\frac{3t^2}{1+3t}$ ;
8. $x=t^2+t^3,y=t^2+t^3-2t^4-2t^5$ ;
9. $x=t-\frac{1}{t},y=t-\frac{\ln (2{\mathrm{e}}^t-1)}{2}$ ;
10. $x=t^2+\frac{2}{t},y=t^2+\frac{1}{t^2}$.

Exercice 5

Soit un réel $R>0$.

1. Trouver les trajectoires orthogonales à la famille des cercles de rayon $R$ et centrés sur $(Ox)$.
2. Étudier et tracer la courbe paramétrée $x=R(\ln |\tan \frac{t}{2}|+\cos t),y=R\sin t$.

Exercice 6

Modèle:WikipédiaModèle:WikipédiaModèle:WikipédiaEn un point $M(t_0)$ d'une courbe paramétrée, le rayon de courbure est donné par
$\rho (t_0)=\frac{(x^{\prime }(t_0{)}^2+y^{\prime }(t_0{)}^2{)}^{3/2}}{|x^{\prime }(t_0)y^{″}(t_0)-y^{\prime }(t_0)x^{″}(t_0)|}$ et le centre de courbure est le point $\mathrm{\Omega }(t_0)$ qui est à distance $\rho (t_0)$ de $M(t_0)$, tel que la droite $(\mathrm{\Omega }(t_0)M(t_0))$ est normale à la tangente $T_{t_0}$, et placé dans l'intérieur de la courbe.

La développée est l'ensemble des centres de courbure.

1. Déterminer le rayon de courbure en tout point de :
   1. l'astroïde $(x,y)=a({\cos }^{3}t,{\sin }^{3}t)$ ;
   2. la cycloïde $(x,y)=R(t-\sin t,1-\cos t)$ ;
   3. la lemniscate $(x,y)=(\frac{t}{1+t^4},\frac{t^3}{1+t^4})$.
2. Déterminer la développante de la cycloïde qui passe par le milieu d'une arche.
3. Déterminer la développée de l'ellipse d'équation $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, dont la paramétrisation naturelle est donnée par

   $x(\theta )=a\cos \theta ,y(\theta )=b\sin \theta ,\theta \in [0,2\pi ]$.

Exercice 7

1. Trouver les droites à la fois tangentes et normales à la courbe paramétrée $x=3t^2,y=4t^3$. Modèle:Solution

2. La normale en un point M de la parabole $x=y^2$ recoupe cette parabole en N. La parallèle en M à la tangente en N coupe en un point P la parallèle en N à la tangente en M. Déterminer le lieu de P et le tracer. Modèle:Solution

Exercice 8

L'orthoptique d'une courbe $𝒞$ est le lieu des points du plan d'où l'on peut mener (au moins) deux tangentes à $𝒞$, orthogonales. Soient $a,b>0$. Déterminer l'orthoptique de :

1. l'astroïde $x=a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t$ ;
2. la courbe $x=t^2-2t,y=2t^3-3t^2$ ;
3. l'ellipse d'équation $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (Indication : étant donné un point $M_0(x_0,y_0)$, chercher la condition sur $m$ pour que la droite passant par $M_0$ et de coefficient directeur $m$ soit tangente à l'ellipse.)

Exercice 9

Soit $𝒞$ le cercle de centre $O=(0,0)$ et de rayon $R$.

1. Donner un paramétrage de la développante $\mathrm{\Gamma }$ de $𝒞$ passant par le point $(R,0)$.
2. Soit ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ la translatée de $\mathrm{\Gamma }$ par le vecteur $(0,2\pi R)$. Justifier que :
   • $\mathrm{\Gamma }$ et ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ sont tangentes ;
   • le point de tangence appartient à l'axe vertical $T$ d'équation $x=R$.
   • la tangente est horizontale.
3. Soit ${\mathrm{\Gamma }}^{″}$ la courbe symétrique de ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ par rapport à $T$. Justifier que $\mathrm{\Gamma }$ et ${\mathrm{\Gamma }}^{″}$ sont tangentes.
4. Quel est l'intérêt mécanique de cette propriété ?

Exercice 10

Soit un réel $a>0$. On note :

• $T$ l'intersection de $(Ox)$ et de la tangente en $M$ ;
• $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(Ox)$.

1. Trouver les courbes telles que $HT=a$ ;
2. Trouver les courbes telles que $MT=a$.

Exercice 11

Tracer la courbe d'équation polaire $r=a(1+\cos \theta )$. Modèle:Solution

Exercice 12

Modèle:Wikipédia Soit $\mathrm{\Gamma }$ une spirale logarithmique, c'est-à-dire une courbe d'équation polaire $r={\mathrm{e}}^{k(\theta -{\theta }_0)}$ ($k\in {ℝ}^{*},{\theta }_0\in ℝ$).

1. Soit $M\in \mathrm{\Gamma }$. Que dire de l'angle $\alpha$ entre $(OM)$ et la tangente à $\mathrm{\Gamma }$ en $M$ ? Montrer que cette propriété caractérise les spirales logarithmiques.
2. Calculer l'abscisse curviligne le long de $\mathrm{\Gamma }$.
3. En déduire qu'on peut former un engrenage avec deux spirales logarithmiques isométriques.
4. Si l'on fait rouler une spirale logarithmique sur une droite, quelle est la trajectoire du centre ?

Exercice 13

Modèle:Wikipédia On considère un point mobile $M$ de vitesse $\overrightarrow{v}:=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{M}}{\mathrm{d}t}$ et d'accélération $\overrightarrow{a}:=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}$ non colinéaires. On note $v:=\Vert v\Vert$, $\overrightarrow{T}:=\frac{\overrightarrow{v}}{v}$ et $s$ l'abscisse curviligne ($\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v$).

1. Exprimer $\overrightarrow{a}$ comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{T}$ et $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}s}$.
2. En déduire que $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}s}\ne \overrightarrow{0}$, et démontrer que $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}s}\perp \overrightarrow{T}$.
3. En déduire qu'il existe un vecteur unitaire $\overrightarrow{N}\perp \overrightarrow{T}$ et un réel $R\ne 0$ (rayon de courbure) tels que $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}s}=\frac{1}{R}\overrightarrow{N}$.
4. Exprimer $\overrightarrow{a}$ comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{T}$ et $\overrightarrow{N}$.
5. On pose $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{T}\wedge \overrightarrow{N}$ (produit vectoriel). Démontrer que $(\overrightarrow{T},\overrightarrow{N},\overrightarrow{B})$ est une base orthonormée directe.

Exercice 14

1. Représenter graphiquement la parabole $\mathrm{\Gamma }:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y^2=2x\}$.
2. Calculer l'équation cartésienne et l'équation paramétrique de la tangente à $\mathrm{\Gamma }$ au point $(2,2)$.

Exercice 15

1. En quels points la courbe d'équation $(y-x^2{)}^2+x^2=1$ a-t-elle une tangente parallèle à l'axe des $x$ ou celui des $y$ ?
2. À partir de ces informations, dessiner l'allure de la courbe.

Exercice 16

Dans les quatre cas suivants, trouver une paramétrisation rationnelle de la courbe :

• $x(y^2-x^2)=2y^2-x^2$ ;
• ${(x^2+y^2)}^2=x^2-y^2$ (lemniscate de Bernoulli) ;
• $x^3+y^3=3xy$ ([[../Inversion locale, fonctions implicites#Exercice 9|folium de Descartes]]) ;
• $x^3-y^3+xy-2x+2y+3=0$.

Exercice 17

Étude locale.

1. Déterminez la nature, au point correspondant à la valeur $t=0$ du paramètre, des courbes paramétrées suivantes :
   1. $t\mapsto (t+2t^2-t^3,t+2t^2-t^7)$ ;
   2. $t\mapsto (-t+t^2,t^2+t^3)$ ;
   3. $t\mapsto (t^2+3t^3+t^4,-2t^2-6t^3+t^4)$ ;
   4. $t\mapsto (-t^2-2t^3,-t^3-t^5)$.
2. Déterminez les points d'inflexion de la courbe $t\mapsto ((t-2{)}^3,t^2-4)$.

Exercice 18

On souhaite tracer la courbe paramétrée par

$x,y:]-2,0[\to ℝ,x(t)=\frac{1}{t}+\ln (2+t),y(t)=t+\frac{1}{t}$.

1. Calculer $x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)$ et établir le double tableau de variations sur $]-2,0[$.
2. Étude locale au voisinage du point de paramètre $t=-1$ : préciser un vecteur dirigeant la tangente en ce point, et le comportement local (point d'inflexion ? rebroussement de première espèce ? de deuxième espèce ?).
3. Étude de la branche infinie quand $t\to 0^{-}$ : déterminer une droite asymptote.
4. Étude de la branche infinie quand $t\to (-2{)}^{+}$ : déterminer une droite asymptote et étudier la position de la courbe par rapport à cette droite (au-dessus ou en dessous ?).
5. Tracer la courbe.

Exercice 19

On considère la courbe paramétrée plane déterminée par

$h:ℝ\to {ℝ}^2,t\mapsto (x(t)=\frac{1}{2}\sin (2\pi t),y(t)=\frac{4t^3}{3}-\frac{7t^2}{2}+3t+2)$.

1. Déterminer une valeur de $t$ correspondant à un point singulier.
2. Calculer, pour tout réel $t$, le déterminant $w(t)=\left|\begin{array}{cc}{x}^{\prime }(t)& x^{″}(t)\\ y^{\prime }(t)& y^{″}(t)\end{array}\right|$.
3. Calculer $w(0)$ et $w(1/2)$. En déduire qu'il existe un point d'inflexion dans $[0,1/2]$.

Liens externes

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