Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples

Exercice 2-1

Calculer les volumes de $B=\{(x,y,z)\in [0,2]\times [0,1]\times ℝ\mid 0\le z\le x+y^2\}$ et $B^{\prime }=\{(x,y,z)\in [0,2]\times [0,1]\times ℝ\mid 0\le z\le x\}$. Modèle:Solution

Exercice 2-2

Calculer :

1. $\underset{D}{\iiint }z\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ où $D=\{(x,y,z)\in {ℝ}^2\times [0,h]\mid x^2+y^2\le 1\}$ ;
2. $\underset{D}{\iiint }z\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ où $D=\{(x,y,z)\in ({ℝ}_{+}{)}^3\mid z\le \min (1-x^2,1-y^2)\}$ ;
3. pour $D=\{(x,y,z)\in ({ℝ}_{+}{)}^3\mid x+y+z\le 1\}$ :
   1. $\underset{D}{\iiint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$,
   2. $\underset{D}{\iiint }(x+y+z{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$,
   3. $\underset{D}{\iiint }\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{(1+x+y+z{)}^3}$,
   4. $\underset{D}{\iiint }x\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ ;
4. $\underset{D}{\iiint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ où $D=\{(x,y,z)\in ({ℝ}_{+}{)}^3\mid \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le 1\}$ ;
5. pour $D=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2+z^2\le 1\}$ :
   1. $\underset{D}{\iiint }\cos x\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$,
   2. $\underset{D}{\iiint }\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{\sqrt{x^2+y^2+(z-a{)}^2}}(a>1)$ ;
6. $\underset{D}{\iiint }\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ où $D=\{(x,y,z)\in {ℝ}^2\times [0,2]\mid x^2+y^2\le 4\}$ ;
7. $\underset{0\le x\le y\le z\le 1}{\iiint }xyz\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$.

Exercice 2-3

Quel est le volume délimité par deux cylindres de révolution d'axes $(Ox)$ et $(Oy)$ et de même rayon $R>0$ ? Modèle:Solution Modèle:Clr Modèle:Wikipédia Quel est le volume de l'intersection de la boule $x^2+y^2+z^2\le 4R^2$ et du cylindre $x^2+(y-R{)}^2\le R^2$ ?

Indication : remarquer que $(r\cos \theta {)}^2+(r\sin \theta -R{)}^2\le R^2⟺r\le 2R\sin \theta$. Modèle:Solution

Exercice 2-4

1. Soit $f:[a,b]\to {ℝ}_{+}$ une fonction continue, et ${\mathrm{\Omega }}_f$ le solide délimité par la rotation du graphe de $f$ autour de l'axe $(Ox)$ :
   ${\mathrm{\Omega }}_f=\{(x,y,z)\in [a,b]\times {ℝ}^2\mid \sqrt{y^2+z^2}\le f(x)\}$.
   Montrer que le volume de ${\mathrm{\Omega }}_f$ est égal à $\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2(x)\mathrm{d}x$.
2. Calculer le volume du « tonneau » ${\mathrm{\Omega }}_{a,b,c}:=\{(x,y,z)\in [-a,a]\times {ℝ}^2\mid \sqrt{y^2+z^2}\le b\sin (cx)\}$, où $b>0$ et $0<a<\frac{c\pi }{2}$.
3. Dans le plan $(xOy)$, on considère un disque, de centre $(0,R,0)$ et de rayon $a\le R$.
   Calculer le volume du tore plein obtenu en faisant tourner ce disque autour de l'axe $(Ox)$.
4. Calculer le volume du cylindre $\{(x,y,z)\in [0,h]\times {ℝ}^2\mid y^2+z^2\le R^2\}$ avec $R,h>0$.
5. Calculer le volume du cône $\{(x,y,z)\in [0,h]\times {ℝ}^2\mid y^2+z^2\le x^2/h^2\}$ avec $h>0$.
6. Calculer le volume de la portion de paraboloïde $\{(x,y,z)\in {ℝ}^2\times {ℝ}_{+}\mid x^2+y^2\le 1-z\}$.
7. Calculer le volume du solide en dessous du cône $z=\sqrt{x^2+y^2}$ et au-dessus de la couronne $z=0$ et $4\le x^2+y^2\le 25$.
8. Calculer le volume de l'intersection du cylindre $x^2+y^2\le 4$ et de l'ellipsoïde $4x^2+4y^2+z^2\le 64$.
9. Dans le plan $(xOy)$, on considère le domaine borné $D$ délimité par les courbes $y=x^2$ et $x=y^2$.
   Calculer le volume du solide obtenu en faisant tourner $D$ autour de l'axe $(Ox)$.

Exercice 2-5

1. Calculer le volume de l'ellipsoïde $\{(x,y,z)\in {ℝ}^3|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1\}$ (avec $a,b,c>0$).
2. Calculer $\underset{1\le x^2+y^2+z^2\le 4}{\iiint }(x^2+y^2+z^2{)}^{\alpha }\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$.
3. Calculer le volume de $\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2\le 1,0\le z\le 1-x^2+y^2\}$.
4. On considère l'hyperboloïde à une nappe d'équation $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ (avec $a,b,c>0$).
   1. Calculer le volume $V_{\alpha }$ de $\{(x,y,z)\in {ℝ}^3|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}\le 1,-\alpha \le z\le \alpha \}$.
   2. Calculer le volume de $H_{a,b,c}:=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}\le 1,-1\le z\le 2\}$.
   3. Calculer $I:=\underset{H_{1,1,2}}{\iiint }z{\mathrm{e}}^{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$.

Exercice 2-6

Soient $D=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid z\ge 0,x^2+y^2\le 9,x^2+y^2+z^2\le 25\}$ (intersection d'une demi-boule et d'un cyclindre de même axe), $V$ son volume et $G$ son centre de gravité, de coordonnées $(x_G,y_G,z_G)$.

On rappelle que $G$ est défini par $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{V}\underset{D}{\iiint }\overrightarrow{OM}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$.

Identifier $D$ géométriquement. Déterminer $x_G$ et $y_G$, puis $V$, puis $z_G$. Modèle:Solution

Exercice 2-7

Soient $a\in ]0,1[$ et $S=\{(r\cos \theta ,r\sin \theta ,\sin \theta )\mid a\le r\le 1,0\le \theta \le \pi \}$.

1. Trouver un domaine $D\subset {ℝ}^2$ et une fonction $f:D\to ℝ$ tels que $S=\{(x,y,f(x,y))\mid (x,y)\in D\}$.
2. Calculer le volume du solide $T=\{(x,y,tf(x,y))\mid (x,y)\in D,0\le t\le 1\}$.

Exercice 2-8

1. Tracer l'ensemble $C=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid z+1=\sqrt{x^2+y^2}\}$. Déterminer l'intersection de $C$ avec la sphère $S=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}$.
2. Tracer le solide $K=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid \sqrt{x^2+y^2}-1\le z\le \sqrt{1-x^2-y^2}\}$.
3. Calculer le volume de $K$.

Exercice 2-9

Soit $A$ un domaine simple du plan $xOy$, d'aire $𝒜$. Calculer le volume du cône de base $A$ et de sommet $(0,0,h)$. Modèle:Solution

Exercice 2-10

Étudier l'intégrabilité des fonctions suivantes (où $I=]0,1[$ et $\beta \in ℝ$ est un paramètre) :

1. $f(x_1,\dots ,x_n)=(1+\sum x_k{)}^{\beta }$ sur ${]0,+\mathrm{\infty }[}^n$
2. $f(x_1,\dots ,x_n)=(\sum x_k^2{)}^{\beta /2}$ sur $I^n$
3. $f(x_1,\dots ,x_n)=(\sum x_k^k{)}^{\beta }$ sur $I^n$
4. $f(x_1,\dots ,x_n)=(1-\prod x_k{)}^{\beta }$ sur $I^n$
5. $f(x_1,\dots ,x_n)=(\sum x_k{)}^{\beta }$ sur $I^n$
6. $f(x,y)=\frac{\sin (x-y{)}^{\alpha }}{(x^2+y^2{)}^{\beta }}$ sur $I^2$