Géométrie affine/Exercices/Thalès, Ménélaüs, Ceva et Desargues

Modèle:Exercice Modèle:Wikipédia Étant donnés trois points alignés $A,B,C$ tels que $A\ne C$, la notation $\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$ désigne le scalaire $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{AC}$.

Exercice 4-1

Dans un espace affine, on se donne deux droites $D$ et $D^{\prime }$ et trois hyperplans parallèles distincts intersectant $D$ et $D^{\prime }$ respectivement en $A$ et $A^{\prime }$, en $B$ et $B^{\prime }$ et en $C$ et $C^{\prime }$.

Démontrer que $\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{A^{\prime }{C}^{\prime }}}$ (théorème de Thalès). Modèle:Clr Modèle:Solution

Exercice 4-2

Soit dans un plan affine un triangle $(A,B,C)$, et trois points $X,Y,Z$ appartenant respectivement aux droites $(BC),(CA),(AB)$ et distincts des sommets $A,B,C$.

On veut démontrer que $X,Y,Z$ sont alignés si et seulement si

$(1)\frac{\overline{XB}}{\overline{XC}}\frac{\overline{YC}}{\overline{YA}}\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}}=1$.

1. On suppose $X,Y,Z$ alignés.
   Soient $h_1$ l'homothétie de centre $X$ telle que $h_1(B)=C$ et $h_2$ l'homothétie de centre $Y$ telle que $h_2(C)=A$. On note ${\alpha }_k$ le rapport de $h_k$.
   1. Montrer que les deux droites $(XY)$ et $(AB)$ sont stables par $h_2\circ h_1$.
   2. En déduire que $h_2\circ h_1$ est une homothétie de centre $Z$.
   3. En explicitant ${\alpha }_1$ et ${\alpha }_2$, en déduire la relation $(1)$.
2. Réciproquement, on suppose $(1)$ vérifiée.
   1. En remarquant que $\frac{\overline{XB}}{\overline{XC}}\ne \frac{\overline{YA}}{\overline{YC}}$, montrer que $(XY)$ et $(AB)$ sont sécantes.
   2. En considérant le point $Z^{\prime }$ d'intersection de $(XY)$ et $(AB)$ et les résultats de la première question, montrer que $Z=Z^{\prime }$ et en déduire que les points $X,Y,Z$ sont alignés.

Soient $ℛ\mathcal{=}\mathcal{(}{𝒜}_0,\mathcal{\dots },{𝒜}_{𝓃}\mathcal{)}$ un repère affine de $ℰ$ et $B_0,\dots ,B_n$ $n+1$ points quelconques.

1. On note ${\gamma }_{i,j}$$ la $i$-ème coordonnée barycentrique de $B_j$ dans $ℛ$. Montrer que $(B_0,\dots ,B_n)$ est un repère affine de $ℰ$ si et seulement si $\det \gamma \ne 0$.
2. Dans le cas particulier $B_0\in (A_0{A}_1),B_0\ne A_1,\dots ,B_n\in (A_n{A}_0),B_n\ne A_0$, en déduire que $(B_0,\dots ,B_n)$ est un repère affine de $ℰ$ si et seulement si $\frac{\overline{B_0{A}_0}}{\overline{B_0{A}_1}}\times \frac{\overline{B_1{A}_1}}{\overline{B_1{A}_2}}\times \dots \times \frac{\overline{B_n{A}_n}}{\overline{B_n{A}_0}}\ne 1$.

Exercice 4-3

Soit dans un plan affine un triangle $(A,B,C)$, et trois points $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ appartenant respectivement aux droites $(BC),(CA),(AB)$ et distincts des sommets $A,B,C$.

On veut démontrer que les trois droites $(A{A}^{\prime })$, $(B{B}^{\prime })$ et $(C{C}^{\prime })$ sont parallèles $(1)$ ou concourantes $(2)$ si et seulement si

$(3)\frac{\overline{A^{\prime }B}}{\overline{A^{\prime }C}}\frac{\overline{B^{\prime }C}}{\overline{B^{\prime }A}}\frac{\overline{C^{\prime }A}}{\overline{C^{\prime }B}}=-1$.

1. On suppose $(1)$. En appliquant le théorème de Thalès, montrer que $\frac{\overline{B^{\prime }C}}{\overline{B^{\prime }A}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{B{A}^{\prime }}}$ et $\frac{\overline{C^{\prime }A}}{\overline{C^{\prime }B}}=\frac{\overline{C{A}^{\prime }}}{\overline{CB}}$. En déduire $(3)$.
2. On suppose $(2)$ et l'on note $K$ le point commun aux trois droites $(A{A}^{\prime })$, $(B{B}^{\prime })$ et $(C{C}^{\prime })$.
   1. En appliquant le théorème de Ménélaüs au triangle $(AC{A}^{\prime })$ et à la droite $(B{B}^{\prime })$, montrer que $\frac{\overline{B{A}^{\prime }}}{\overline{BC}}\frac{\overline{B^{\prime }C}}{\overline{B^{\prime }A}}\frac{\overline{KA}}{\overline{K{A}^{\prime }}}=+1$.
   2. Montrer qu'on a de même $\frac{\overline{C{A}^{\prime }}}{\overline{CB}}\frac{\overline{C^{\prime }B}}{\overline{C^{\prime }A}}\frac{\overline{KA}}{\overline{K{A}^{\prime }}}=+1$.
   3. En déduire $(3)$.
3. Réciproquement, on suppose $(3)$.
   1. On suppose $(A{A}^{\prime })$ et $(B{B}^{\prime })$ sécantes en un point $K^{\prime }$ et l'on désigne par $C^{″}$ le point de concours de $(C{K}^{\prime })$ et $(AB)$. En appliquant la question 2, montrer que $\frac{\overline{A^{\prime }B}}{\overline{A^{\prime }C}}\frac{\overline{B^{\prime }C}}{\overline{B^{\prime }A}}\frac{\overline{C^{″}A}}{\overline{C^{″}B}}=-1$ et en déduire que $\frac{\overline{C^{″}A}}{\overline{C^{″}B}}=\frac{\overline{C^{\prime }A}}{\overline{C^{\prime }B}}$. En déduire que $C^{″}=C^{\prime }$ et finalement $(2)$.
   2. En déduire que si $(A{A}^{\prime })$ et $(B{B}^{\prime })$ sont parallèles alors $(1)$.
4. (Variante des questions 2 et 3.1). On pose

   $a=\frac{\overline{A^{\prime }B}}{\overline{A^{\prime }C}},b=\frac{\overline{B^{\prime }C}}{\overline{B^{\prime }A}},c=\frac{\overline{C^{\prime }A}}{\overline{C^{\prime }B}}$.

   1. Soit $I=\alpha A+\beta B+\gamma C$ (avec $\alpha +\beta +\gamma =1$) un point quelconque de $ℰ$. On veut trouver à quelle condition (sur $\alpha ,\beta ,\gamma$) ce point $I$ appartient à la droite $A{A}^{\prime }$.

      a) Déterminer (en fonction de $a$) les coordonnées barycentriques de $A^{\prime }$ dans le repère affine $(B,C)$ de la droite $BC$.

      b) En déduire que si $I$ est un barycentre de $A$ et $A^{\prime }$ alors $\gamma =-a\beta$.

      c) Vérifier la réciproque et conclure.

      d) Énoncer (sans démonstration) la condition analogue pour que $I$ appartienne à $B{B}^{\prime }$ (resp. $C{C}^{\prime }$).

   2. On suppose dans cette sous-question que les deux droites $A{A}^{\prime }$ et $B{B}^{\prime }$ sont sécantes en $I=\alpha A+\beta B+\gamma C$ (avec $\alpha +\beta +\gamma =1$). Déduire de la sous-question précédente que $abc=-1$ si et seulement si $I\in C{C}^{\prime }$.

Exercice 4-4

Soient $ℰ$ un espace affine, $D_1,D_2,D_3$ trois droites affines distinctes qui se coupent en un point $O\in ℰ$.

Soient $A,A^{\prime }$ (resp. $B,B^{\prime }$, resp. $C,C^{\prime }$) deux points distincts de $D_1\setminus \{O\}$ (resp. $D_2\setminus \{O\}$, resp. $D_3\setminus \{O\}$).

On suppose que $BC$ et $B^{\prime }{C}^{\prime }$ se coupent en un point $A^{″}$, $CA$ et $C^{\prime }{A}^{\prime }$ se coupent en un point $B^{″}$, et $AB$ et $A^{\prime }{B}^{\prime }$ se coupent en un point $C^{″}$.

1. Montrer qu'il existe un unique $(\alpha ,\beta ,\gamma )\in {ℝ}^3$ tel que $\overrightarrow{OA}=(\alpha -1)\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{OB}=(\beta -1)\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ et $\overrightarrow{OC}=(\gamma -1)\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$.
2. Montrer que $\beta \ne \gamma$, puis $\gamma \ne \alpha$ et $\alpha \ne \beta$. Déterminer (en fonction de $\alpha ,\beta ,\gamma$) les coordonnées barycentriques de $A^{″}$ dans le repère affine $(B,C)$ de la droite affine $BC$, puis celles de $B^{″}$ dans le repère affine $(C,A)$ et celles de $C^{″}$ dans le repère affine $(A,B)$.
3. En déduire que $A^{″},B^{″},C^{″}$ sont alignés. (Remarque : c'est une version faible du théorème de Desargues qui, sans supposer a priori $D_1,D_2,D_3$ concourantes, énonce qu'elles le sont si et seulement si $A^{″},B^{″},C^{″}$ sont alignés).