Géométrie affine/Exercices/Applications affines

Exercice 2-1

Soient $A=(2,1)$ et $B=(-1,1)$ deux points du plan affine ${ℝ}^2$. Déterminer les caractéristiques de la composée des deux homothéties $h=h_{A,1/2}\circ h_{B,3}$. Modèle:Solution

Exercice 2-2

Dans le plan affine ${ℝ}^2$ muni du repère cartésien $(O,e_1,e_2)$, on considère la droite $𝒟$ d'équation $2x+y-2=0$. Donner l'expression analytique de la symétrie par rapport à $𝒟$ de direction $e_1+e_2$. Modèle:Solution Soit $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right)$ et $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ définie par $f(x,y)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 4\end{array}\right)$. Montrer que $f$ est une symétrie, dont on précisera l'axe et la direction. Modèle:Solution

Exercice 2-3

Dans l'espace affine ${ℝ}^3$, on considère l'application affine définie analytiquement par :

$f(x,y,z)=\frac{(y+z+3,y+z+5,y+z+7)}{2}$.

1. Montrer que $\overrightarrow{f}$ est une projection dont on déterminera les caractéristiques. L'application $f$ est-elle une projection ?
2. Soit $\tau$ la translation de vecteur $(3,3,3)$. Montrer que $f=\pi \circ \tau =\tau \circ \pi$, où $\pi$ est une projection affine à déterminer.

Exercice 2-4

Soit $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ et $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ définie par $f(x,y)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)$. Montrer que $f$ est une similitude directe, dont on précisera le centre, l'angle et le rapport. Modèle:Solution

Identifier l'application affine $f$ du plan qui envoie respectivement les points $A=(1,0)$, $B=(2,-1)$ et $C=(1,1)$ sur les points $A^{\prime }=(1,-1)$, $B^{\prime }=(-1,-3)$ et $C^{\prime }=(3,-1)$. Modèle:Solution

Exercice 2-5

On considère une translation $\tau$ et une homothétie $h$ d'un espace affine $ℰ$. Identifier les applications Modèle:Nobr $f_2:=h^{-1}\circ \tau \circ h$ et $f_3:=\tau \circ h\circ \tau$. Modèle:Solution

Exercice 2-6

Soit $s:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ l'application définie par :

$s(x,y,z)=(-2y+z-2,-x-y+z-2,-x-2y+2z-2)$.

Déterminer la nature de cette application affine ainsi que ses caractéristiques. Modèle:Solution

Exercice 2-7

Soit $p:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ l'application définie par :

$p(x,y)=(\frac{2x+y}{3}+2,\frac{2x+y}{3}-4)$

1. Montrer que $p^2=p$.
2. Déterminer $p$ géométriquement (points fixes, etc.).

Exercice 2-8

Notons $s_A$ la symétrie centrale de centre $A$ et $t_u$ la translation de vecteur $u$.

1. Montrer que $s_B\circ s_A=t_{2\overrightarrow{AB}}$.
2. En déduire que pour tous $A,B,C,D\in ℰ$, $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $s_D\circ s_C\circ s_B\circ s_A={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{ℰ}$.

Exercice 2-9

Montrer que l'application $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^3,(x,y,z)\mapsto (3x+4y+2z-4,-2x-3y-2z+4,4x+8y+5z-8)$ est une affinité et préciser ses éléments caractéristiques (base, direction, rapport). Modèle:Solution

Exercice 2-10

Soit $ABC$ un triangle non plat, et $A{A}_1{B}_{1}B$ et $AC{C}_2{A}_2$ deux carrés bâtis sur ses côtés (les points sont énumérés dans le sens direct). Soit $A^{\prime }$ l'unique point tel que $A{A}_2{A}^{\prime }{A}_1$ soit un parallélogramme. Montrer que $(A{A}^{\prime })$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. Modèle:Solution

Exercice 2-11

Soient $ℰ$ un espace affine, $O\in ℰ$ et $f:ℰ\to ℰ$ affine. On cherche à décomposer $f$ sous la forme $t_1\circ u_1$ ou $u_2\circ t_2$ avec $t_i$ translation et $u_i$ application affine fixant $O$.

1. Montrer que $u_i$ (si elle existe) est unique, et que $u_1,u_2$ (si elles existent) sont égales.
2. Montrer que le problème équivaut à trouver des translations $t_i$ telles que $(t_1^{-1}\circ f)(O)=O$ et $(f\circ t_2^{-1})(O)=O$.
3. Démontrer que $t_1$ existe et est unique (et déterminer son vecteur).
4. Démontrer que des $t_2$ existent si et seulement si $O\in \mathrm{Im}(f)$ (et déterminer leurs vecteurs).

Exercice 2-12

On note ${\mathrm{G}\mathrm{A}}_O(ℰ)$ le sous-groupe des éléments de $\mathrm{G}\mathrm{A}(ℰ)$ qui fixent le point $O$. Montrer que l'application suivante est bien définie (c'est-à-dire à valeurs dans $T_{ℰ}$, le sous-groupe des translations) :

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{G}\mathrm{A}}_O(ℰ)\times T_{ℰ}& \to & T_{ℰ}\\ (u,t)& \mapsto & u\circ t\circ u^{-1}\end{array}$

et fournit une action de ${\mathrm{G}\mathrm{A}}_O(ℰ)$ sur $T_{ℰ}$.

Décrire (le vecteur de) la translation $u\circ t\circ u^{-1}$ en fonction de $t$ et $u$, et constater que l'action est indépendante du point $O$ (on a donc en fait une action de $\mathrm{G}\mathrm{L}(E)$ sur $T_{ℰ}$). Modèle:Solution

Exercice 2-13

Soient $ℰ$ un espace affine de dimension $n$, et $(A_0,\dots ,A_n)$ un repère affine.

1. Montrer que pout tout $i\in \{0,\dots ,n\}$, il existe une unique application affine ${\varphi }_i:ℰ\to ℝ$ telle que $\mathrm{\forall }j\in \{0,\dots ,n\}{\varphi }_i(A_j)={\delta }_{i,j}.$
2. Exprimer l'image d'un point par ${\varphi }_i$ en fonction de ses coordonnées barycentriques dans le repère des $A_i$.
3. Montrer que l'ensemble $\mathrm{Aff}(ℰ,ℝ)$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications de $ℰ$ dans $ℝ$. Déduire de ce qui précède que sa dimension est au moins $n+1$.
4. Montrer que tout élément $\varphi \in \mathrm{Aff}(ℰ,ℝ)$ s'écrit $\varphi =\sum _i\varphi (A_i){\varphi }_i$. En déduire la dimension de $\mathrm{Aff}(ℰ,ℝ)$.

Exercice 2-14

Modèle:Wikipédia Soient $ℰ,{ℰ}^{\prime }$ deux $ℝ$-espaces affines et $f$ une application de $ℰ$ dans $ℰ\text{'}$.

1) Dans cette question on suppose $f$ affine.

a) (Re-)démontrer que $f$ est injective si et seulement si $\overrightarrow{f}$ l'est.

b) (Re-)démontrer que si $ℱ$ est un sous-espace affine de $ℰ$ de direction $F$ alors $f(ℱ)$ est un sous-espace affine de $ℰ\text{'}$ de direction $\overrightarrow{f}(F)$.

c) En déduire que si $f$ est injective, $f$ envoie toute droite de $ℰ$ sur une droite de $ℰ\text{'}$, et envoie deux droites parallèles sur des droites parallèles.

2) Soient $O,A,B$ trois points non alignés de $ℰ$. Pour tout $M\in (OA)$, soient $M^{\prime }$ le point d'intersection de $(OB)$ avec la parallèle à $(AB)$ passant par $M$, et $M^{″}$ le point d'intersection de $(OA)$ avec la parallèle à $(MB)$ passant par $M^{\prime }$.

Démontrer que lorsque $M$ parcourt la droite $(OA)$, $M^{″}$ parcourt la demi-droite fermée $[OA)$.

3) Dans cette question on suppose que $ℰ$ est de dimension $\ge 2$, que $f$ envoie toute droite de $ℰ$ bijectivement sur une droite de $ℰ\text{'}$ (donc $f$ est injective), et que $f$ envoie deux droites parallèles sur des droites parallèles.

Le but est d'en déduire que $f$ est affine.

a) Montrer que l'image par $f$ d'un parallélogramme est un parallélogramme (on pourra commencer par le cas d'un parallélogramme non aplati).

b) En déduire que l'application $u:E\to E^{\prime },\overrightarrow{MN}\mapsto \overrightarrow{f(M)f(N)}$ est bien définie.

c) Vérifier que $\mathrm{\forall }x,y\in Eu(x+y)=u(x)+u(y)$.

En déduire que $\mathrm{\forall }x\in Eu(\lambda x)=\lambda u(x)$ pour tout $\lambda \in \mathbb{Z}$, puis pour tout $\lambda \in \mathbb{Q}$.

d) Montrer (en utilisant 2) que pour tous points distincts $O,A\in ℰ$, $f([O,A))=[f(O),f(A))$.

e) En déduire que $u(\lambda x)=\lambda u(x)$ est vrai pour tout $\lambda \in ℝ$, et conclure.

Exercice 2-15

Soient $(d_1)$ et $(d_2)$ deux droites du plan et $s_1$ et $s_2$ les réflexions d'axe respectivement $(d_1)$ et $(d_2)$. Que représente $s_2\circ s_1$ géométriquement ? Modèle:Solution