Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires

Modèle:Chapitre Ce chapitre est destiné à étudier des propriétés qui nous seront utiles pour calculer des limites faisant intervenir des fonctions trigonométriques. La propriété 1 de ce chapitre est souvent admise dans des cours similaires. Nous avons toutefois choisi de la déduire de lemmes qui nous semblent plus intuitifs à admettre que la propriété 1.

Considérations sur les arcs de cercle

Nous avons tout d'abord le lemme suivant :

Modèle:Lemme Nous admettrons ce lemme très intuitif, qui découle du fait bien connu que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre.

Nous retiendrons ensuite le lemme suivant : Modèle:Lemme Nous admettrons aussi ce lemme, difficile à démontrer bien qu'assez intuitif.

Continuité de la fonction sinus

Nous montrerons la continuité de la fonction sinus grâce au lemme suivant :

Montrons que la fonction sinus est continue en une valeur $a$ quelconque de son domaine de définition qui est $ℝ$.

De l'une des formules de Simpson :

$\sin p-\sin q=2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2}$,

on déduit, grâce au lemme 3 :

$|\sin x-\sin a|=2|\sin \frac{x-a}{2}||\cos \frac{x+a}{2}|\le 2\times \left|\frac{x-a}{2}\right|\times 1=|x-a|$,

d'où il découle, d'après le théorème de l'encadrement (théorème des gendarmes) :

$\underset{x\to a}{\lim }|\sin x-\sin a|=0$,

autrement dit :

$\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$,

ce qui montre que la fonction sinus est bien continue en $a$.

Continuité de la fonction cosinus

Nous invitons le lecteur, à titre d'entraînement, à faire une démonstration similaire à celle de la fonction sinus en utilisant une autre formule de Simpson :

$\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p-q}{2}\sin \frac{p+q}{2}$.

Quant à nous, nous nous contenterons de remarquer que :

$\cos x=\sin (x+\frac{\pi }{2})$,

qui nous montre que la continuité de la fonction cosinus découle directement, par composition de fonctions continues, de la continuité de la fonction sinus.

Continuité de la fonction tangente

Comme :

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$,

la fonction tangente est continue comme quotient de deux fonctions continues.

Propriétés sur les limites

La propriété 1 ci-dessous est assez fondamentale et permet d'établir un grand nombre de limites d'expressions contenant des fonctions trigonométriques. Nous verrons en particulier que grâce à celle-ci, nous pourrons calculer la dérivée des fonctions sinus et cosinus. Modèle:Propriété

Pour démontrer cette propriété, nous utiliserons le lemme 3 et le lemme suivant : Modèle:Lemme Modèle:Démonstration déroulante Modèle:Démonstration déroulante

Les lemmes 3 et 4 nous donnent deux inégalités qui peuvent se réunir en un encadrement :

$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$.

La fonction cosinus étant continue en $0$, nous avons :

$\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=\cos 0=1$.

Par conséquent, en faisant tendre $x$ vers $0$ dans les trois membres de $\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$, nous obtenons en utilisant le théorème de l'encadrement (théorème des gendarmes) :

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$.

La propriété suivante se déduit de la propriété 1 mais est aussi importante pour faciliter l'établissement de limites d'expressions contenant des fonctions trigonométriques.