Trigonométrie/Relations trigonométriques

Les relations trigonométriques sont les égalités qui relient les fonctions trigonométriques cosinus, sinus et tangente entre elles.

La tangente comme quotient

Soit la variable $x$ dont la mesure est différente de $\frac{\pi }{2}$ et de $-\frac{\pi }{2}$.

La fonction tangente est définie comme le quotient de la fonction sinus par la fonction cosinus : $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$.

Concernant la parité : $\tan (-x)=-\tan (x)$, puisque $\sin (-x)=-\sin (x)$ et $\cos (-x)=\cos (x)$. La fonction tangente est donc impaire.

Formule liant les fonctions cosinus et sinus (Formule fondamentale)

On a pour tout réel $x$ : ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$Modèle:Démonstration déroulante

Exemple : Calcul du sinus à partir du cosinus

Sachant que $\cos (x)=0,5$, calculer une valeur exacte de $\sin (x)$.

Propriétés des arcs associés

On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes.

$\begin{array}{cc}\cos (-a)& =\cos (a)\\ \sin (-a)& =-\sin (a)\\ \tan (-a)& =-\tan (a)\end{array}$		$\begin{array}{cc}\cos (\pi -a)& =-\cos (a)\\ \sin (\pi -a)& =\sin (a)\\ \tan (\pi -a)& =-\tan (a)\end{array}$
$\begin{array}{cc}\cos (\frac{\pi }{2}-a)& =\sin (a)\\ \sin (\frac{\pi }{2}-a)& =\cos (a)\\ \tan (\frac{\pi }{2}-a)& =\frac{1}{\tan a}=\cot (a)\end{array}$		$\begin{array}{cc}\cos (\pi +a)& =-\cos (a)\\ \sin (\pi +a)& =-\sin (a)\\ \tan (\pi +a)& =\tan (a)\end{array}$
$\begin{array}{cc}\cos (\frac{\pi }{2}+a)& =-\sin (a)\\ \sin (\frac{\pi }{2}+a)& =\cos (a)\\ \tan (\frac{\pi }{2}+a)& =-\frac{1}{\tan a}=-\cot (a)\end{array}$

Formules de trigonométrie

Nous démontrerons au [[../Les formules de trigonométrie|chapitre 11]] les formulaires ci-dessous.

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Formulaire 1 : addition

$\begin{array}{cc}\cos (a+b)& =\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)\\ \sin (a+b)& =\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)\\ \tan (a+b)& =\frac{\tan (a)+\tan (b)}{1-\tan (a)\tan (b)}\end{array}$

(On en déduit des formules analogues en remplaçant $b$ par $-b$, grâce aux formules de la première section ci-dessus.)

Formulaire 2 : duplication

$$\begin{array}{cc}\cos (2a)& ={\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)\\ & =2{\cos }^2(a)-1\\ & =1-2{\sin }^2(a)\\ & =\frac{1-{\tan }^2(a)}{1+{\tan }^2(a)}\\ \sin (2a)& =2\sin (a)\cos (a)\\ \tan (2a)& =\frac{2\tan (a)}{1-{\tan }^2(a)}\end{array}$$

Formulaire 3 : linéarisation (formules de Carnot)

$\begin{array}{cc}{\cos }^2(a)& =\frac{1+\cos (2a)}{2}\\ {\sin }^2(a)& =\frac{1-\cos (2a)}{2}\\ {\tan }^2(a)& =\frac{1-\cos (2a)}{1+\cos (2a)}\\ \end{array}$

Formulaire 4 : produit-somme

$\begin{array}{cc}\cos (a)\cos (b)& =\frac{\cos (a+b)+\cos (a-b)}{2}\\ \sin (a)\sin (b)& =\frac{\cos (a-b)-\cos (a+b)}{2}\\ \sin (a)\cos (b)& =\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{2}\\ \cos (a)\sin (b)& =\frac{\sin (a+b)-\sin (a-b)}{2}\\ \tan (a)\tan (b)& =\frac{\cos (a-b)-\cos (a+b)}{\cos (a-b)+\cos (a+b)}\\ \end{array}$

Formulaire 5 : somme-produit (formules de Simpson)

$\begin{array}{cc}\cos (a)+\cos (b)& =2\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)\\ \cos (a)-\cos (b)& =-2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right)\sin \left(\frac{a-b}{2}\right)\\ \sin (a)+\sin (b)& =2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right)\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)\\ \sin (a)-\sin (b)& =2\sin \left(\frac{a-b}{2}\right)\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)\\ \tan (a)+\tan (b)& =\frac{\sin (a+b)}{\cos (a)\cos (b)}\\ \tan (a)-\tan (b)& =\frac{\sin (a-b)}{\cos (a)\cos (b)}\\ \end{array}$

(On en déduit des formules analogues en remplaçant $b$ par $-b$, grâce aux formules de la première section ci-dessus.)