Fonctions trigonométriques/Équations trigonométriques

Modèle:Chapitre On appelle équation trigonométrique, une équation qui contient une ou plusieurs inconnues, certaines de ces inconnues se trouvant dans des fonctions circulaires. Dans ce chapitre, nous allons approfondir l'étude des équations trigonométriques. Celles-ci s'avèrent souvent utiles pour résoudre des questions liées à l'étude de fonctions contenant des fonctions trigonométriques. Par exemple, si $f$ est une fonction à étudier et si l'on souhaite trouver les abscisses des points d'interceptions de la courbe avec l'axe des abscisses, nous devrons résoudre l'équation $f(x)=0$.

Équations fondamentales

Nous reprenons, dans ce paragraphe les équations de base en cosinus, sinus et tangente.

Équations en cosinus

Soit à résoudre l'équation :

$\cos x=b$,

connaissant une solution $x=a$ de cette équation dans l'intervalle $]-\pi ,\pi ]$ (cette solution ayant été obtenue soit à l'aide d'une table, soit à l'aide d'une calculatrice). $b$ étant l'abscisse du point M d'abscisse curviligne $a$, nous constatons (voir dessin ci-contre) qu'il existe un seul autre point sur le cercle trigonométrique ayant pour abscisse $b$ : le point d'abscisse curviligne $-a$. $a$ et $-a$ sont donc les deux solutions de l'équation appartenant à l'intervalle $]-\pi ,\pi ]$. Les autres solutions sont obtenues en ajoutant un nombre entier (relatif) de fois $2\pi$ à ces deux solutions. Modèle:Clr Nous retiendrons :

Modèle:Théorème Remarque : Le résultat précédent reste identique si l'équation avait été présentée sous la forme : $\cos x=\cos a$.

Nous pouvons maintenant généraliser ce que l'on vient de dire en considérant des équations de la forme :

$\cos u(x)=\cos v(x)$,

$u$ et $v$ étant des fonctions de l'inconnue $x$.

En considérant le schéma précédent, nous devrions avoir bien compris que deux valeurs donnent le même cosinus si elles sont représentées par un même point sur le cercle trigonométrique ou si elles sont représentées par des points symétriques par rapport à l'axe des abscisses sur le cercle trigonométrique. Nous avons donc :

$\cos u(x)=\cos v(x)\iff \{\begin{array}{cc}u(x)=v(x)+2k\pi ,& k\in \mathbb{Z}\\ \text{ou}\\ u(x)=-v(x)+2k\pi ,& k\in \mathbb{Z}.\end{array}$

Modèle:Exemple

Équations en sinus

Soit à résoudre l'équation :

$\sin x=b$,

connaissant une solution $x=a$ de cette équation dans l'intervalle $]-\pi ,\pi ]$ (cette solution ayant été obtenue soit à l'aide d'une table, soit à l'aide d'une calculatrice). $b$ étant l'ordonnée du point M d'abscisse curviligne $a$, nous constatons (voir dessin ci-contre) qu'il existe un seul autre point sur le cercle trigonométrique ayant pour ordonnée $b$ : le point d'abscisse curviligne $\pi -a$. $a$ et $\pi -a$ sont donc les deux solutions de l'équation appartenant à l'intervalle $]-\pi ,\pi ]$. Les autres solutions sont obtenues en ajoutant un nombre entier (relatif) de fois $2\pi$ à ces deux solutions. Modèle:Clr Nous retiendrons :

Modèle:Théorème Remarque : Le résultat précédent reste identique si l'équation avait été présentée sous la forme : $\sin x=\sin a$.

Nous pouvons maintenant généraliser ce que l'on vient de dire en considérant des équations de la forme :

$\sin u(x)=\sin v(x)$,

$u$ et $v$ étant des fonctions de l'inconnue $x$.

En considérant le schéma précédent, nous devrions avoir bien compris que deux valeurs donnent le même sinus si elles sont représentées par un même point sur le cercle trigonométrique ou si elles sont représentées par des points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées sur le cercle trigonométrique. Nous avons donc :

$\sin u(x)=\sin v(x)\iff \{\begin{array}{cc}u(x)=v(x)+2k\pi ,& k\in \mathbb{Z}\\ \text{ou}\\ u(x)=\pi -v(x)+2k\pi ,& k\in \mathbb{Z}.\end{array}$

Modèle:Exemple

Équations en tangente

Soit à résoudre l'équation :

$\tan x=b$,

connaissant une solution $x=a$ de cette équation dans l'intervalle $]-\pi ,\pi ]$ (cette solution ayant été obtenue soit à l'aide d'une table, soit à l'aide d'une calculatrice). $b$ étant l'ordonnée du point N intersection de la droite OM avec la tangente en A au cercle trigonométrique, nous constatons (voir dessin ci-contre) qu'il existe un seul autre point sur le cercle trigonométrique donnant l'ordonnée $b$ par le même procédé de construction : le point d'abscisse curviligne $a+\pi$ (ou $a-\pi$). $a$ et $a+\pi$ (ou $a-\pi$) sont donc les deux solutions de l'équation appartenant à l'intervalle $]-\pi ,\pi ]$. Les autres solutions sont obtenues en ajoutant un nombre entier (relatif) de fois $2\pi$ à ces deux solutions. Ce qui revient à rajouter un nombre entier (relatif) de fois $\pi$ à la solution $a$. Modèle:Clr Nous retiendrons :

Modèle:Théorème Remarque : Le résultat précédent reste identique si l'équation avait été présentée sous la forme : $\tan x=\tan a$.

Nous pouvons maintenant généraliser ce que l'on vient de dire en considérant des équations de la forme :

$\tan u(x)=\tan v(x)$,

$u$ et $v$ étant des fonctions de l'inconnue $x$.

En considérant le schéma précédent, nous devrions avoir bien compris que deux valeurs donnent la même tangente si elles sont représentées par un même point sur le cercle trigonométrique ou si elles sont représentées par des points diamétralement opposés sur le cercle trigonométrique. Nous avons donc :

$\tan u(x)=\tan v(x)\iff u(x)=v(x)+k\pi k\in \mathbb{Z}$.

Modèle:Exemple

Équation dont l'inconnue n'intervient que dans un même type de fonction circulaire

Ce sont, par exemple, des équations comme :

• $3\cos x-2=0$ ;
• $7{\sin }^{2}x+3\sin x-1=0$ ;
• ${\tan }^{2}x+\tan x+1=0$ ;
• $\frac{\sin x+3}{5\sin x-2}=6$ ;
• $7{\cos }^2\frac{x}{2}-5\cos \frac{x}{2}+1=0$ ;
• $\tan \frac{x}{3}+\frac{1}{1+\tan \frac{x}{3}}=5$.

Nous considérerons aussi comme faisant partie de ce paragraphe, les équations qui, après transformation, se ramènent à une équation ayant un seul type de fonction circulaire comme :

• ${\cos }^{2}x+\sin x=2$, qui peut s'écrire $1-{\sin }^{2}x+\sin x=2$,
• $\cos x+\cos \frac{x}{2}=0$, qui se ramène à $2{\cos }^2\frac{x}{2}-1+\cos \frac{x}{2}=0$,
• etc.

Pour résoudre ce type d'équation, on commence par déterminer le domaine de définition de l'équation.

On pose ensuite une inconnue auxiliaire $X$ égale à l'expression trigonométrique apparaissant dans l'équation.

Par exemple, pour l'équation :

$\tan \frac{x}{3}+\frac{1}{1+\tan \frac{x}{3}}=5$

on posera :

$X=\tan \frac{x}{3}$

et l'on est alors ramené à résoudre l'équation :

$X+\frac{1}{1+X}=5$.

Les deux sous-sections suivantes correspondent aux deux cas particuliers $X=\tan x$ et $X=\cos y$ avec $y=x-\frac{\pi }{4}$.

Équations homogènes en sin x et cos x

Une équation polynomiale en sin x et cos x est dite homogène si elle peut s'écrire avec un premier membre (le second membre étant nul) sous la forme de somme de termes (monômes trigonométriques) de la forme ${\cos }^{m}x{\sin }^{p}x$ avec $m+p=n$. $n$ étant une constante ($n$ est le degré du monôme).

Par exemple :

$5{\cos }^{3}x-7{\cos }^{2}x\sin x+2\cos x{\sin }^{2}x-{\sin }^{3}x=0$

est une équation homogène.

Comme ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, on pourra rendre homogènes des équations dont les monômes deviennent de degré constant après avoir multiplié certains termes par ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x$.

Par exemple, l'équation :

${\cos }^{3}x+5\sin x=0$

se ramène à une équation homogène en multipliant le second terme par ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ ; en effet, on obtient ainsi :

${\cos }^{3}x+5\sin x({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)=0$

qui s'écrit :

${\cos }^{3}x+5\sin x{\cos }^{2}x+5{\sin }^{3}x=0$.

Plus généralement, on pourra rendre homogène toute équation dont les degrés des monômes sont de même parité.

Pour résoudre une équation homogène, il suffira ensuite de diviser tous les termes par ${\cos }^{m}x$, $m$ ayant la valeur la plus élevée possible et de poser $X=\tan x$.

Modèle:Exemple

Équations symétriques

Ce sont des équations contenant des termes en $\cos x$ et $\sin x$, qui restent inchangées lorsqu'on intervertit les $\cos x$ et $\sin x$, c'est-à-dire lorsqu'on remplace $x$ par $\frac{\pi }{2}-x$. L'ensemble des solutions $x$ d'une telle équation est symétrique par rapport à la valeur $\frac{\pi }{4}$. En faisant le changement de variable $x=\frac{\pi }{4}+y$ et en remplaçant ${\sin }^{2}y$ par $1-{\cos }^{2}y$, on se ramène à une équation en $\cos y$.

Équation avec plusieurs types de fonctions circulaires (méthode générale)

Ce sont des équations en $\cos x$, $\sin x$ et $\tan x$. Le changement de variable que l'on va étudier dans ce paragraphe donne en général des équations de degré plus élevé que les autres changements de variable. On n'utilisera donc cette méthode que si les autres méthodes, comme celles vues dans les paragraphes précédents, ne s'appliquent pas.

La méthode consiste à faire le changement de variable

$t=\tan \frac{x}{2}$

et à utiliser les formules de duplication :

$\{\begin{array}{c}\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\ \tan x=\frac{2t}{1-t^2}.\end{array}$

Avant de poser ce changement de variable, il faut s'assurer que $\tan \frac{x}{2}$ existe. Il faut donc préalablement traiter à part le cas où $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi$, c'est-à-dire $x=(2k+1)\pi$ et voir si l'équation n'a pas de solutions de cette forme.

Voir, à titre d'exemple, le paragraphe suivant.

Équations de la forme a cos x + b sin x = c

Nous nous proposons d'analyser de façon générale la résolution de l'équation :

$a\cos x+b\sin x=c$.

Nous supposerons que $a$ et $b$ ne sont pas tous deux nuls, sinon l'équation est triviale à résoudre.

Il est possible de faire cette résolution en utilisant la « méthode générale » du paragraphe précédent.

Le changement de variable $t=\tan \frac{x}{2}$ ne pouvant être fait que si $x\ne (2k+1)\pi k\in \mathbb{Z}$, nous devons préalablement voir dans quelle condition l'équation admet des solutions sous la forme $x=(2k+1)\pi$.

En remplaçant dans l'équation, nous obtenons :

$a\cos ((2k+1)\pi )+b\sin ((2k+1)\pi )=c$

qui donne :

$-a=c$

soit :

$a+c=0$.

Nous voyons que nous sommes amenés à distinguer deux cas.

Premier cas : a + c = 0

L'équation s'écrit :

$a\cos x+b\sin x=-a$,

c'est-à-dire :

$a(1+\cos x)+b\sin x=0$.

En utilisant des formules trigonométriques, on obtient :

$2a{\cos }^2\frac{x}{2}+2b\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$

qui peut se simplifier et se factoriser sous la forme :

$\cos \frac{x}{2}(a\cos \frac{x}{2}+b\sin \frac{x}{2})=0$,

d'où l'on déduit :

$\{\begin{array}{c}\cos \frac{x}{2}=0\\ \text{ou}\\ \tan \frac{x}{2}=-\frac{a}{b}.\end{array}$

Soit $\alpha$ un nombre vérifiant $\tan \alpha =-\frac{a}{b}$.

Nous pouvons alors conclure :

$\{\begin{array}{c}x=(2k+1)\pi \\ \text{ou}\\ x=2\alpha +2k\pi .\end{array}$

Deuxième cas : a + c ≠ 0

Nous pouvons poser

$t=\tan \frac{x}{2}$

qui donne :

$\{\begin{array}{c}\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\ \tan x=\frac{2t}{1-t^2}\end{array}$

et en portant dans l'équation :

$a\cos x+b\sin x=c$

nous obtenons :

$a\frac{1-t^2}{1+t^2}+b\frac{2t}{1+t^2}=c$

qui donne :

$a(1-t^2)+2bt=c(1+t^2)$

et en faisant tout passer dans le premier membre :

$(a+c)t^2-2bt+c-a=0$

qui est du second degré puisque $a+c\ne 0$.

Calculons le discriminant :

$\mathrm{\Delta }=(-2b{)}^2-4(a+c)(c-a)=4(a^2+b^2-c^2)$

Premier sous-cas : $a^2+b^2<c^2$

Le discriminant est négatif et l'équation n'a pas de solution.

Deuxième sous-cas : $a^2+b^2⩾c^2$

$\{\begin{array}{c}t=\frac{b+\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a+c}\\ \text{ou}\\ t=\frac{b-\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a+c}\end{array}$

C'est-à-dire :

$\{\begin{array}{c}\tan \frac{x}{2}=\frac{b+\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a+c}\\ \text{ou}\\ \tan \frac{x}{2}=\frac{b-\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a+c}\end{array}$

Soit $\alpha$ et $\beta$ deux nombres vérifiant :

$\{\begin{array}{c}\tan \alpha =\frac{b+\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a+c}\\ \tan \beta =\frac{b-\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a+c}\end{array}$

Les solutions de l'équation seront alors :

$\{\begin{array}{c}x=2\alpha +2k\pi k\in \mathbb{Z}\\ \text{ou}\\ x=2\beta +2k\pi k\in \mathbb{Z}.\end{array}$