Fonctions convexes/Exercices/Sur l’inégalité de Jensen

Exercice 1-1

Soient $n\in \mathbb{N}$ et $a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n\in ℝ$. Démontrer que

${\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=0}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{i=0}^n{b}_i^2\right)$.

Exercice 1-2

Soit a₁, a₂,…, a_n, une famille de nombres strictement positifs.

Montrer que l’on a :

$1+{\left(\prod _{i=1}^n{a}_i\right)}^{\frac{1}{n}}⩽\prod _{i=1}^n{(1+a_i)}^{\frac{1}{n}}$

Exercice 1-3

Soit $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ un espace mesuré. On considère les « normes » ${\mathrm{L}}^p$ associées.

1. À l'aide de l'[[../../Applications de l'inégalité de Jensen#Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder|inégalité de Young]], démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder : si $0<p,q\le +\mathrm{\infty }$ et $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}$ alors, pour toutes fonctions mesurables $f$ et $g$,
   $\Vert fg{\Vert }_r\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$.
2. Pour quel espace mesuré la forme discrète vue en cours est-elle un cas particulier de la forme intégrale ci-dessus ?
3. Montrer que le résultat suivant en est un second cas particulier : si $\mu$ est finie, de masse totale $\mu (\mathrm{\Omega })=M>0$, alors, pour toute fonction mesurable $g$,
   $0<r\le q\le +\mathrm{\infty }\Rightarrow \Vert g{\Vert }_r\le M^{\frac{1}{r}-\frac{1}{q}}\Vert g{\Vert }_q$.
4. Montrer que réciproquement, ce second cas particulier peut servir de lemme pour démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder.
5. Redémontrer ce lemme à partir de la [[../../Applications de l'inégalité de Jensen#Application 4 : forme intégrale de l'inégalité de Jensen|version intégrale de l'inégalité de Jensen]].

Exercice 1-4

Soient $f:ℝ\to ℝ$ une fonction convexe et $g:[0,1]\to ℝ$ une fonction continue par morceaux. En considérant des sommes de Riemann, redémontrer directement dans ce cas la [[../../Applications de l'inégalité de Jensen#Application 4 : forme intégrale de l'inégalité de Jensen|version intégrale de l'inégalité de Jensen]] :

$f(\underset{0}{\overset{1}{\int }}g(x)\mathrm{d}x)\le \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\circ g(x)\mathrm{d}x$

à partir de [[../../Applications de l'inégalité de Jensen#Préliminaire|la version discrète]].