Fonction exponentielle/Fonction racine n-ième

Propriétés algébriques

Pour tous réels positifs x et y et tous entiers strictement positifs m et n :

• $\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{xy}$
• $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}=\sqrt[n]{\frac{x}{y}}$ ($\mathrm{\forall }y\ne 0$)
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[mn]{x}=x^{\frac{1}{m\times n}}$
• $\sqrt[m]{x}\times \sqrt[n]{x}={\sqrt[m\times n]{x}}^{m+n}=x^{\frac{m+n}{m\times n}}$
• $\frac{\sqrt[m]{x}}{\sqrt[n]{x}}={\sqrt[m\times n]{x}}^{n-m}=x^{\frac{n-m}{m\times n}}$ $(\mathrm{\forall }x\ne 0)$
• $\frac{1}{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[-n]{x}=x^{\frac{-1}{n}}$ $(\mathrm{\forall }x\ne 0)$
• ${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^m=\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$

Cette dernière propriété se réécrit ${\left(x^{1/n}\right)}^m=(x^m{)}^{1/n}$. Ce nombre se note aussi $x^{m/n}$ et son inverse (si $x\ne 0$) se note $x^{-m/n}$, ce qui ne dépend pas de la représentation fractionnaire choisie pour $r$, et étend à tous les rationnels r la notation $x^r$. On vérifie que cette notation est compatible avec les propriétés déjà connues sur les exposants entiers ou inverses d'entiers.

En particulier :$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}_{+}^{*}\mathrm{\forall }u,v\in \mathbb{Q}{x}^{u+v}=x^u\times x^v$. Modèle:Démonstration déroulante