Fonction exponentielle/Exercices/Propriétés algébriques de l'exponentielle

Soit $x\in ℝ$.

Exercice 1

Dans chaque cas, simplifier l'expression :

1. $({\mathrm{e}}^x{)}^5\times {\mathrm{e}}^{-2x}$ ;
2. $\frac{{\mathrm{e}}^{2x+3}}{{\mathrm{e}}^{2x-1}}$ ;
3. $\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^{-x}}$.

Exercice 2

Dans chaque cas, mettre sous la forme d'une seule exponentielle :

1. $({\mathrm{e}}^x{)}^6\times {\mathrm{e}}^{-3x}$ ;
2. $\frac{{\mathrm{e}}^{2x+5}}{{\mathrm{e}}^{3x}\times {\mathrm{e}}^{-1}}$.

Exercice 3

Dans chaque cas, mettre sous la forme d'une seule exponentielle :

1. $({\mathrm{e}}^x{)}^5\times {\mathrm{e}}^{-4x}$ ;
2. $\frac{{\mathrm{e}}^{2x-5}}{{\mathrm{e}}^{2x}\times {\mathrm{e}}^{-1}}$.

Exercice 4

Démontrer que :

1. $\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{{\mathrm{e}}^x+1}=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-x}}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}$ ;
2. ${\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^{-2x}=\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{{\mathrm{e}}^{2x}}$ ;
3. $\frac{{\mathrm{e}}^{-x}+1}{{\mathrm{e}}^{-2x}}={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2x}$.

Exercice 5

Soit $D=\mathbb{Q}$ ou $ℝ$ et $f:D\to ℝ$ une fonction non constamment nulle et vérifiant :

$\mathrm{\forall }x,y\in Df(x+y)=f(x)f(y)$.

Démontrer que :

1. $f(0)=1$ ;
2. $\mathrm{\forall }x\in Df(x)f(-x)=1$ ;
3. $\mathrm{\forall }x\in Df(x)>0$ ;
4. Pour tout $x\in D$ et tout rationnel $r$, $f(rx)=f(x{)}^r$ ;
5. Si $f$ est définie sur $ℝ$ et continue en un point alors elle est continue sur $ℝ$.
6. Si $f$ est continue sur $ℝ$ alors elle est de la forme $x\mapsto \exp (kx)$.