Fonction dérivée/Dérivées usuelles

Prérequis

Définition de la dérivée

Revoir (chapitres précédents) les définitions d'un nombre dérivé et d'une fonction dérivable et sa fonction dérivée.

Tableau récapitulatif : dérivée et opérations

Admis pour l'instant. Voir : Dérivée d'un produit et Dérivée d'un quotient.

Opération	Dérivée	Précision
$au+bv$	$a{u}^{\prime }+b{v}^{\prime }$	$a,b\in ℝ$
$u\times v$	$u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
$\frac{1}{u}$	$\frac{-u^{\prime }}{u^2}$	$u\ne 0$
$\frac{u}{v}$	$\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$	$v\ne 0$

Dérivées des fonctions usuelles

Fonctions x ↦ xⁿ avec n ∈ Z

Le cas n = 0 se règle directement : x ↦ x⁰ est la fonction constante 1 (même au point x = 0, par convention) donc sa dérivée sur $ℝ$ est la fonction nulle.

On trouvera encore une autre démonstration (pour n positif) à la fin du § « Dérivée des fonctions usuelles » d'un chapitre de la leçon « Fonctions d'une variable réelle ».

Fonction racine carrée

La fonction dérivée de la fonction racine carrée est donnée par : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}:]0,+\mathrm{\infty }[\to ℝ,x\mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Cette propriété est démontrée dans la leçon « Fonction racine carrée ».

Tableau récapitulatif des dérivées usuelles

Soient $n\in {\mathbb{Z}}^{*}$, $a\in ℝ$ et $b\in ℝ$.

$f(x)$	$f^{\prime }(x)$	Intervalle(s) de dérivabilité
$ax+b$	$a$	$ℝ$
$x^n$	$n{x}^{n-1}$	si $n>0:ℝ$ si $n<0:{ℝ}_{-}^{*}$ et ${ℝ}_{+}^{*}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	${ℝ}_{-}^{*}$ et ${ℝ}_{+}^{*}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	${ℝ}_{+}^{*}$
$\cos (x)$	$-\sin (x)$	$ℝ$
$\sin (x)$	$\cos (x)$	$ℝ$
$\exp (x)$	$\exp (x)$	$ℝ$
$\ln (x)$	$\frac{1}{x}$	${ℝ}_{+}^{*}$