Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée

Dérivée d'une fonction composée

Théorème

Modèle:Théorème Ce théorème sera démontré dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle.

Exemple 1

Modèle:Exemple Modèle:Principe Le schéma est

$\begin{array}{ccccc}ℝ& \to & ℝ& \to & ℝ\\ x& \mapsto f& 3x^2+2& \mapsto g& \sin (3x^2+2)\end{array}$

et se ramène à

$\begin{array}{ccc}ℝ& \to & ℝ\\ x& \mapsto g\circ f& \sin (3x^2+2).\end{array}$

Les deux fonctions mises en jeu sont alors :

• $f:x\mapsto 3x^2+2$ ;
• $g:x\mapsto \sin (x)$.

On a bien $h=g\circ f$.

• $f$ est définie et dérivable sur $I=ℝ$ et, pour tout $x\in ℝ$, $f^{\prime }(x)=6x$.
• $g$ est définie et dérivable sur $ℝ$ et $f(I)\subset ℝ$ et, pour tout $X\in ℝ$, $g^{\prime }(X)=\cos (X)$.
• On applique la formule du théorème :

Pour tout $x\in ℝ$ :

$\begin{array}{cc}{h}^{\prime }(x)& =g^{\prime }\circ f(x)\times f^{\prime }(x)\\ & =\cos (3x^2+2)\times 6x.\end{array}$

Exemple 2

Modèle:Exemple Domaine de définition

Une racine carrée est définie si et seulement si son contenu est positif.

Une étude de la fonction du second degré $x\mapsto x^2-3x+2$ donne le tableau de signes suivant :

$\begin{array}{cccccccc}x& -\mathrm{\infty }& & 1& & 2& & +\mathrm{\infty }\\ \text{Signe de }{x}^2-3x+2& & +& 0& -& 0& +& \end{array}$

Pour des rappels sur la résolution des inéquations du second degré, se reporter au cours sur les fonctions et équations du second degré. Modèle:Encadre Étude de la dérivabilité

Le schéma est

$\begin{array}{ccccc}𝒟& \to & {ℝ}_{+}& \to & ℝ\\ x& \mapsto f& x^2-3x+2& \mapsto g& \sqrt{x^2-3x+2}\end{array}$

et se ramène à

$\begin{array}{ccc}𝒟& \to & ℝ\\ x& \mapsto g\circ f& \sqrt{x^2-3x+2}.\end{array}$

Les deux fonctions mises en jeu sont alors : $f:x\mapsto x^2-3x+2$ et $g:x\mapsto \sqrt{x}$.

On a bien $h=g\circ f$

• $f$ est définie et dérivable sur $𝒟$ et, pour tout $x\in 𝒟$, $f^{\prime }(x)=2x-3$.
• $g$ est définie sur ${ℝ}_{+}$, mais n'est dérivable que sur ${ℝ}_{+}^{*}$.

Pour avoir la dérivabilité de $g\circ f$, il faut donc retirer tous les points pour lesquels $x^2-3x+2=0$, c'est-à-dire 1 et 2.

• On applique la formule du théorème :

Pour tout $x\in {𝒟}^{\prime }$ :

$\begin{array}{cc}{h}^{\prime }(x)& =g^{\prime }\circ f(x)\times f^{\prime }(x)\\ & =\frac{1}{2\sqrt{x^2-3x+2}}\times (2x-3).\end{array}$

Autres exemples

Dériver les fonctions suivantes en utilisant la formule de composition en précisant le domaine sur lequel cette dérivation est valable :

• $h_1:x\mapsto \sqrt{x^2+x+1}$ ;
• $h_2:x\mapsto \frac{1}{(5x-4{)}^2}$.

Conséquences : formules de dérivation

Soit $u$ une fonction définie sur un domaine $𝒟$ à valeurs dans $ℝ$

On obtient les formules de dérivation de composées suivantes :

$\begin{array}{cc}\text{Fonction}& \mathrm{D}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}\\ u^n& n{u}^{n-1}{u}^{\prime }\\ \sin u& (\cos u)u^{\prime }\\ \cos u& -(\sin u)u^{\prime }\\ {\mathrm{e}}^u& {\mathrm{e}}^u{u}^{\prime }\end{array}$

Si de plus, pour tout $x\in 𝒟$, $u(x)>0$

$\begin{array}{cc}\text{Fonction}& \mathrm{D}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}\\ \sqrt{u}& \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}\\ \ln u& \frac{u^{\prime }}{u}\end{array}$