Espaces vectoriels normés/Exercices/Normes

Dans tous les exercices, K = $ℝ$ ou $ℂ$. Modèle:Clr

Exercice 1-1 : normes sur K

Montrer que les normes sur K sont de la forme $\mathrm{\forall }x\in K\Vert x\Vert =a|x|$ où $a>0$ et $|\cdot |$ désigne la valeur absolue (K = $ℝ$) ou le module (K = $ℂ$).

Exercice 1-2 : normes usuelles sur KModèle:Exp

Rappelons les normes usuelles sur KModèle:Exp données dans le cours en tant qu'exemple :

• pour $p\in [1,+\mathrm{\infty }[$ : $\Vert (x_1,\dots ,x_n){\Vert }_p=\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p}$ ;
• $\Vert (x_1,\dots ,x_n){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\max (|x_1|,\dots ,|x_n|)$.

1. Représenter graphiquement les boules unité de ${ℝ}^2$ muni respectivement des normes $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2\text{et}\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.
2. Montrer que ces normes sont équivalentes, et déterminer les constantes optimales dans les inégalités.
3. Montrer plus généralement que les normes $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2\text{et}\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ sur KModèle:Exp sont équivalentes, et déterminer les constantes optimales.

Exercice 1-3 : quelques normes sur les polynômes

1. Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace $ℝ[X]$ des polynômes réels :
   • $P\mapsto \Vert P{\Vert }_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|P(t)|\mathrm{d}t$ ;
   • $P\mapsto |P(0)|+\Vert P^{\prime }{\Vert }_1$ ;
   • $P\mapsto \Vert P{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\sup \{|P(t)|\mid t\in [0,1]\}$.
2. Soient $x_0,\dots ,x_n$, $n+1$ nombres réels distincts. Montrer que pour tout $p\in [1,+\mathrm{\infty }]$, l'application suivante est une norme sur le sous-espace ${ℝ}_n[X]$ des polynômes de degré au plus $n$ :

   $P\mapsto \Vert (P(x_0),\dots ,P(x_n)){\Vert }_p$, où $\Vert \cdot {\Vert }_p$ est la norme ${\ell }^p$ sur ${ℝ}^{n+1}$.

3. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, il existe une constante $C_n$ (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que :

   $\mathrm{\forall }P\in {ℝ}_n[X]\Vert P{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le C_n\Vert P{\Vert }_1$.

4. Est-ce encore vrai sur $ℝ[X]$ ? (On pourra considérer la suite des polynômes $X^n$.)

Exercice 1-4 : norme et produit scalaire

Modèle:Wikipédia L'objectif de cet exercice est d'étudier le lien entre norme et produit scalaire. On considère donc $(E,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire (on se restreint ici au cas réel pour simplifier).

1. Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $\mathrm{\forall }x,y\in E⟨x,y{⟩}^2\le ⟨x,x⟩⟨y,y⟩$ (regarder le produit scalaire $⟨x+\lambda y,x+\lambda y⟩$ pour $\lambda \in ℝ$ et choisir une valeur de $\lambda$ particulière).
2. Vérifier que l'application :
   $\begin{array}{cc}\Vert \cdot \Vert :& E\to F\\ & x\mapsto \sqrt{⟨x,x⟩}\end{array}$
   définit une norme sur $E$.
   Cet exemple constitue l'un des exemples classiques de norme à connaître.
3. Montrer que cette norme vérifie l'égalité, dite du parallélogramme : $\mathrm{\forall }x,y\in E\Vert x-y{\Vert }^2+\Vert x+y{\Vert }^2=2(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2)$ et que $\mathrm{\forall }x,y\in E⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)$.
4. Montrer que la norme $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ sur ${ℝ}^n$ n'est pas issue d'un produit scalaire.
5. Nous cherchons maintenant à caractériser les normes provenant d'un produit scalaire, et nous allons voir que ce sont exactement les normes vérifiant l'égalité du parallélogramme. On considère donc à présent un e.v.n. réel $(E,N)$ tel que $N$ vérifie $\mathrm{\forall }x,y\in EN(x-y{)}^2+N(x+y{)}^2=2(N(x{)}^2+N(y{)}^2)$.
   On pose $\mathrm{\forall }x,y\in EB(x,y)=\frac{1}{4}(N(x+y{)}^2-N(x-y{)}^2)$. Clairement, $B$ est symétrique et $B(x,x)=N(x{)}^2$. Pour montrer que $B$ est un produit scalaire dont la norme associée est $N$, il reste donc à vérifier que $B$ est linéaire à gauche, ce qui impliquera la bilinéarité. Soit $x,y,z\in E$.
   1. Montrer que $B(x+y,z)=2B(y,z)-B(y-x,z)$.
   2. En déduire que $B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z)$.
   3. Montrer que $\mathrm{\forall }r\in \mathbb{Q}B(rx,y)=rB(x,y)$.
   4. Conclure.

Exercice 1-5 : normes usuelles sur C([a, b], ℝ)

Dans cet exercice, on va s'intéresser aux normes usuelles sur $C([a,b],ℝ)$ pour $a<b\in ℝ$, l'espace vectoriel des fonctions continues de $[a,b]$ dans $ℝ$, et les comparer entre elles. En particulier, nous allons voir que ces normes ne sont pas équivalentes.

On considère ainsi les trois normes $\Vert \cdot {\Vert }_1$, $\Vert \cdot {\Vert }_2$ et $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ définies par :

$\Vert f{\Vert }_1=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t)|\mathrm{d}t,\Vert f{\Vert }_2=\sqrt{\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t){|}^2\mathrm{d}t}\text{et}\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{t\in [a,b]}{\sup }|f(t)|$.

1. Vérifier que ces trois applications sont bien des normes.
2. Soit $f\in C([a,b],ℝ)$. Montrer les deux inégalités suivantes, et montrer qu'elles sont optimales :
   • $\Vert f{\Vert }_1\le \sqrt{b-a}\Vert f{\Vert }_2$ ;
   • $\Vert f{\Vert }_2\le \sqrt{b-a}\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.
3. Montrer que ces trois normes ne sont pas équivalentes entre elles.

Exercice 1-6 : Structure sur l'ensemble des normes

Soit $N_1,N_2$ deux normes sur un $𝕂$-espace vectoriel $E$ et $\lambda \in {ℝ}_{+}^{*}$.

Montrer que $\lambda N_1$ et $N_1+N_2$ sont des normes sur $E$.

Cet exercice prouve que l'ensemble des normes sur un espace vectoriel donné est un cône convexe. Modèle:Solution

Exercice 1-7

Pour $(x,y)\in {ℝ}^2$, on définit $N(x,y)=\underset{t\in ℝ}{\sup }\frac{|x+ty|}{1+t^2}$.

1. Montrer que $N$ est une norme sur ${ℝ}^2$.
2. En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que pour tout $(x,y)\in {ℝ}^2$, $N(x,y)\le \Vert (x,y){\Vert }_2$.
3. Dessiner la boule unité pour la norme $N$.

Exercice 1-8

1. Soit $E$ un espace préhilbertien (réel ou complexe). Montrer l'identité du parallélogramme généralisée :

   $\mathrm{\forall }{x}_1,\dots ,x_n\in E\Vert x_1{\Vert }^2+\cdots +\Vert x_n{\Vert }^2=\frac{1}{2^n}\sum _{({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)\in \{-1,1{\}}^n}\Vert {\epsilon }_1{x}_1+\cdots +{\epsilon }_n{x}_n{\Vert }^2$.

2. En déduire que pour $p\ne 2$, [[w:Espace de suites ℓp|ℓModèle:Exp et ℓModèle:Exp]] ne sont pas isomorphes.