Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé

Exercice 6-1

Soient

• $h_n={\chi }_{[-n,n]}$ (l'indicatrice de $[-n,n]$),
• $\widehat{h_n}(x)=\underset{ℝ}{\int }{h}_n(\xi ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\xi }\mathrm{d}\xi$ (sa Modèle:W) et
• $f_n=\widehat{h_1}\times \widehat{h_n}$.

Montrer que :

1. $f_n$ est intégrable ;
2. la suite $(\widehat{f_n})$ est bornée dans $C_0(ℝ)$ (muni de la norme sup) ;
3. la suite $(f_n)$ n'est pas bornée dans ${\mathrm{L}}^1(ℝ)$ (par changement de variable + Modèle:W) ;
4. la transformation de Fourier, de ${\mathrm{L}}^1(ℝ)$ dans $C_0(ℝ)$, est injective ;
5. elle n'est pas surjective ;
6. de même, l'injection ${\mathrm{L}}^1(ℝ/2\pi \mathbb{Z})\to c_0(\mathbb{Z}),f\mapsto {(\hat{f}(n))}_{n\in \mathbb{Z}}$ n'est pas surjective.

Exercice 6-2

Existe-t-il des exemples de bijections linéaires continues $T:X\to Y$ entre deux e.v.n. avec $T^{-1}$ non continue et :

1. $X$ et $Y$ non complets ?
2. $X$ complet et $Y$ non complet ?
3. $Y$ complet et $X$ non complet ?

Exercice 6-3

Dans un espace vectoriel normé E, deux sous-espaces vectoriels supplémentaires (algébriques) M et N sont dits supplémentaires topologiques s'ils sont fermés et si l'une des deux projections (de E sur M et N) est continue (donc les deux, puisque leur somme idModèle:Ind l'est). Montrer que :

1. dans un espace de Banach, deux supplémentaires algébriques fermés sont toujours supplémentaires topologiques ;
2. dans un Modèle:W, tout sous-espace fermé possède un supplémentaire topologique ;
3. une surjection linéaire continue $T:E\to F$ entre deux espaces de Banach possède une section linéaire continue ($S:F\to E$ telle que $T\circ S=\mathrm{i}\mathrm{d}$) si et seulement si $\ker T$ possède un supplémentaire topologique ;
4. dans tout e.v.n., les sous-espaces de dimension finie et les sous-espaces fermés de Modèle:W finie possèdent des supplémentaires topologiques.

Exercice 6-4

Soient $T:H\to H^{\prime }$ et $S:H^{\prime }\to H$ deux applications entre espaces de Hilbert, telles que

$\mathrm{\forall }x\in H\mathrm{\forall }y\in H^{\prime }⟨T(x),y⟩=⟨x,S(y)⟩$.

Montrer que $T$ et $S$ sont linéaires et continues. Modèle:Solution

Exercice 6-5

Soient $X,Y,Z$ trois espaces de Banach, $F$ un ensemble d'applications linéaires continues de $X$ dans $Y$ « total » (c'est-à-dire séparant les points de $X$) et $T$ une application linéaire de $Z$ dans $X$. Montrer que si $\mathrm{\forall }f\in Ff\circ T$ est continue, alors $T$ est continue. Modèle:Solution

Exercice 6-6

Soit $F$ un sous-espace vectoriel fermé de ${\mathrm{L}}^2([0,1])$, constitué de fonctions continues. Montrer que :

1. $\mathrm{\exists }A\in ℝ\mathrm{\forall }f\in F\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le A\Vert f{\Vert }_2$ ;
2. $\mathrm{\forall }x\in [0,1]\mathrm{\exists }!g_x\in F\mathrm{\forall }f\in Ff(x)=⟨f,g_x⟩$ ;
3. $\mathrm{\forall }x\in [0,1]\Vert g_x{\Vert }_2\le A$ ;
4. $F$ est de dimension finie, inférieure ou égale à $A^2$.

Exercice 6-7

Soit $\mu$ une mesure positive (sur un espace mesurable) et $1\le p,q\le \mathrm{\infty }$ tels que ${\mathrm{L}}^q(\mu )\subset {\mathrm{L}}^p(\mu )$.

1. Montrer que cette inclusion est continue (rappel : toute suite qui converge dans ${\mathrm{L}}^p(\mu )$ possède une sous-suite qui converge $\mu$-p.p.).
2. Si $q<p$, en déduire l'existence d'un $\epsilon >0$ tel que pour toute partie mesurable $Y$ de mesure non nulle, $\mu (Y)\ge \epsilon$.
3. Si au contraire $p<q$ et si $\mu$ est Modèle:W, en déduire que $\mu$ est Modèle:W.

Exercice 6-8

Soit $T$ un endomorphisme de $E={\mathrm{L}}^2([0,1])$. On suppose que $T$ est continu de $(E,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ dans $(E,\Vert \cdot {\Vert }_1)$. Montrer que $T$ est continu de $(E,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ dans $(E,\Vert \cdot {\Vert }_2)$. Modèle:Solution