Application linéaire/Projecteurs, symétries

Dans un K-espace vectoriel E, soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires : $E=F\oplus G$ Modèle:Clr

Projecteurs

Définition

Tout vecteur $x$ de $E$ se décompose de façon unique comme somme d'un vecteur $y$ de $F$ et d'un vecteur $z$ de $G$. On appelle $y$ le projeté de $x$ sur $F$ parallèlement à $G$ (ce projeté est évidemment égal à $x$ si $x\in F$ et à $0$ si $x\in G$). On considère l'application $x\mapsto y$ : Modèle:Définition

Caractérisation

Réciproquement : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Finalement « projecteurs » et « couples d'espaces vectoriels supplémentaires » se correspondent bijectivement.

Symétries

Définition

Puisque $q={\mathrm{Id}}_E-p$, on peut aussi définir $s$ par : $s:=2p-{\mathrm{Id}}_E$, ou encore : $s:={\mathrm{Id}}_E-2q$.

Caractérisation

Réciproquement : Modèle:Théorème