Espaces de Banach/Exercices/Applications linéaires continues

Exercice 3-1

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $T,I\in ℒ(E,F)$. On suppose que $T$ est un isomorphisme et $I\ne 0$. Montrer qu'il existe $\epsilon >0$ tel que pour tout scalaire $\lambda$ de module $<\epsilon$, $T+\lambda I$ soit un isomorphisme. (Utiliser le début de Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité#Exercice 2.) Modèle:Solution

Exercice 3-2

Modèle:Wikipédia Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach. On dit qu'un opérateur linéaire $T\in ℒ(E,F)$ est compact si $T(B_E(0,1))$ est relativement compact dans $F$ (c'est-à-dire d'adhérence compacte). On désigne par $𝒦(E,F)\subset ℒ(E,F)$ le sous-espace vectoriel des opérateurs compacts de $E$ dans $F$.

1. Soit $(T_n)$ une suite d'éléments de $𝒦(E,F)$, convergeant vers $T\in ℒ(E,F)$. Montrer que $T(B_E(0,1))$ est précompact. (On en déduit qu'il est relativement compact — puisque $F$ est complet — et par conséquent $𝒦(E,F)$ est fermé dans $ℒ(E,F)$.)
2. Soit $G$ un espace de Banach. Si $T\in ℒ(E,F)$ et $S\in 𝒦(F,G)$, montrer que $S\circ T\in 𝒦(E,G)$.
3. Soit $T\in 𝒦(E,E)$. Montrer que le sous-espace $\ker ({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-T)$ est de dimension finie (montrer que la boule unité fermée de ce sous-espace est compacte).

Exercice 3-3

On considère l'espace de Banach $E=C([0,1])$ muni de la norme $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.

Soit $k$ une fonction continue sur $[0,1]\times [0,1]$, bornée par $M>0$.

On définit une application linéaire$K:E\to E$ par $Kf(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}k(x,y)f(y)\mathrm{d}y$.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on note $K^n$ l'application itérée $n$ fois de $K$, c'est-à-dire $K^{n}f=K(K^{n-1}f)$.

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $|K^{n}f(x)|\le \frac{(Mx{)}^n\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}}{n!}$, pour tout $x\in [0,1]$.
2. Soient $\lambda \in {ℂ}^{*}$ et $f\in E$. Montrer que la série $\sum {\lambda }^{-(n+1)}{K}^{n}f$ est convergente dans $E$.
3. En déduire que l'équation de Volterra, $(\lambda I-K)g=f$, possède une unique solution $g$ dans $E$.

Exercice 3-4

Soit $({\lambda }_n{)}_n$ une suite de nombres complexes et soit $T$ l'application linéaire de ${\ell }^p$ dans lui-même ($p\in [1,+\mathrm{\infty }[$) définie par

$\mathrm{\forall }f=(f(n){)}_n\in {\ell }^{p}Tf(n)={\lambda }_{n}f(n)$.

1. Montrer que $T$ est continue si et seulement si $({\lambda }_n{)}_n$ est bornée.
2. On suppose que $({\lambda }_n{)}_n$ tend vers 0. Montrer que $T$ est un opérateur compact Modèle:Supra. Indication : on pourra introduire la suite des opérateurs $T_k$ définis par $T_{k}f(n)={\lambda }_{n}f(n)$ si $n\le k$ et $0$ sinon.
3. Réciproquement, on suppose que $({\lambda }_n{)}_n$ ne tend pas vers 0. En raisonnant par l'absurde, montrer que $T$ n'est pas compact.

Exercice 3-5

Soit $E=C^0([0,1],ℝ)$ muni de la norme uniforme, et $k:[0,1]\times [0,1]\to ℝ$ une application continue. Soit $K:E\to E$ l'application linéaire qui à $f\in E$ associe $Kf$ définie par

$Kf(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}k(x,y)f(y)\mathrm{d}y$.

1. Montrer que $K$ est continue.
2. Montrer que $k$ peut être approximée uniformément par une suite de polynômes à deux variables, que l'on notera $(p_n{)}_n$.
3. On définit $K_n:E\to E$ l'application qui à $f\in E$ associe $K_{n}f$ définie par $K_{n}f(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{p}_n(x,y)f(y)\mathrm{d}y$. Montrer que $K_n$ est un opérateur de rang fini pour tout $n$.
4. Montrer que $K_n\to K$, ce qui prouve que $K$ est un opérateur compact Modèle:Supra.