Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité

Exercice 1

On se propose d'étendre aux espaces vectoriels normés le théorème « limite de la dérivée », et de le renforcer en allégeant ses hypothèses. Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, $U$ un ouvert de $E$ et $a$ un point de $U$.

1. Soit $f:U\to F$ une application continue au point $a$, différentiable sur $U\setminus \{a\}$, et dont la différentielle admet au point $a$ une limite : $\underset{x\to a}{\lim }\mathrm{d}{f}_x=L\in ℒ(E,F)$.
   À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, démontrer que $f$ est différentiable au point $a$ et $\mathrm{d}{f}_a=L$.
2. Application : montrer que la fonction
   $f:{ℝ}^2\to ℝ(x,y)\mapsto \{\begin{array}{cc}xy\ln (x^2+y^2)& \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{sinon}\end{array}$
   est de classe CModèle:Exp.
3. Soit $g:U\setminus \{a\}\to F$ une application différentiable et dont la différentielle admet une limite au point $a$. À l'aide du critère de Cauchy pour une fonction, démontrer que si $F$ est complet et $\dim E>1$, alors $g$ elle-même admet une limite en $a$ (si bien que d'après la question précédente, elle se prolonge en une fonction de classe CModèle:Exp en ce point).
4. Quelle variante de la question 3 peut-on énoncer si $E=ℝ$ ?

Exercice 2

Soit $A$ une algèbre de Banach unifère, c'est-à-dire une $ℝ$-algèbre unifère munie d'une norme :

• sous-multiplicative (c'est-à-dire telle que $\mathrm{\forall }x,y\in A\Vert xy\Vert \le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$) ;
• pour laquelle $A$ est complète

(par exemple : l'algèbre $ℒ\left(E\right)$ munie de la [[../../Différentiabilité#Rappels sur les applications linéaires continues|norme $|||\cdot |||$]], où $E$ est un espace de Banach).

Démontrer que :

1. $\mathrm{\forall }u\in A\Vert u\Vert <1\Rightarrow {(1-u)}^{-1}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}^n$ (où $1$ désigne l'élément unité de $A$ et par convention, $u^0=1$) ;
2. dans $A$, le groupe $A^{\times }$ des éléments inversibles est ouvert ;
3. l'application $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}:A^{\times }\to A,a\mapsto a^{-1}$ est différentiable et $\mathrm{d}{\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}}_a\left(h\right)=-a^{-1}h{a}^{-1}$ ;
4. l'application $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}$ est même de classe CModèle:Exp.
5. Dans le cas particulier $A={\mathrm{M}}_n\left(ℝ\right)$, retrouver directement le résultat des questions 2, 4, puis 3.

Exercice 3

Soient $E$ un espace vectoriel normé, $\mathrm{\Omega }$ un ouvert de $ℝ\times E$ contenant $(0,0)$ et $f:\mathrm{\Omega }\to E$ une fonction continue et admettant par rapport à sa seconde variable une fonction différentielle ${\mathrm{d}}_{2}f$ continue sur $\mathrm{\Omega }$. Pour $r>0$ fixé, dans l'espace $F$ des applications continues $u:[-r,r]\to E$ (muni de la norme de la convergence uniforme), on considère l'ouvert $V$ de celles qui vérifient : $\mathrm{\forall }t\in [-r,r](t,u\left(t\right))\in \mathrm{\Omega }$.

Démontrer que l'application $\mathrm{\Phi }:V\to F$ définie par ${\mathrm{\Phi }}_u\left(t\right)=f(t,u\left(t\right))$ est continûment différentiable et que $\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_{u}h\left(t\right)={\mathrm{d}}_2{f}_{(t,u\left(t\right))}\left(h\left(t\right)\right)$.

Exercice 4

Soient $I:=[-1,1]$, $E$ un espace vectoriel normé et $F$ l'espace des fonctions de $I$ dans $E$, de classe CModèle:Exp et nulles en $0$, muni de la norme ${\Vert x\Vert }_1:={\Vert x^{\prime }\Vert }_0$, où ${\Vert \Vert }_0$ est la norme de la convergence uniforme. Montrer que l'application $V:F\times I\to E,(x,t)\mapsto x\left(t\right)$ est de classe CModèle:Exp. Modèle:Solution

Exercice 5

Soient $E$ et $F$ deux e.v.n. réels. Une application $f:E\to F$ est dite homogène de degré $m\in \mathbb{N}$ si $\mathrm{\forall }x\in E\mathrm{\forall }t\in ℝf(tx)=t^{m}f(x)$.

1. Parmi les fonctions homogènes de degré $0$, lesquelles sont continues en $0$ ?
2. Montrer que si $f$ est homogène de degré $m>0$ et bornée sur la sphère unité, alors $f$ est continue en $0$.
3. Montrer que si $f$ est homogène de degré $m\ge 1$ et différentiable en $0$, alors ou bien $f$ est linéaire (et $m=1$), ou bien $m>1$ et $\mathrm{d}{f}_0=0$.
4. Montrer que si $f$ est homogène de degré $m>1$ et bornée sur la sphère unité, alors $f$ est différentiable en $0$ (et $\mathrm{d}{f}_0=0$).
5. Application : étudier la continuité et la différentiabilité en $(0,0)$ des fonctions $f,g,h:{ℝ}^2\to ℝ$ définies par
   • $f(x,y)=0$ si $y\ne 0$ et $f(x,0)=x$ ;
   • $g(x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\ne (0,0)$ et $g(0,0)=0$ ;
   • $h(x,y)=\frac{x^p{y}^q}{x^2-xy+y^2}$ si $(x,y)\ne (0,0)$ et $h(0,0)=0$ (discuter suivant les valeurs de $p,q\in {\mathbb{N}}^{*}$).

Exercice 6

1. Soient $u,v:ℝ\to ℝ$ de classe CModèle:Exp et $f:{ℝ}^2\to ℝ$ de classe CModèle:Exp. On considère

   $F(x):=\underset{u(x)}{\overset{v(x)}{\int }}f(x,t)\mathrm{d}t$.

   Montrer que $F$ est bien définie sur $ℝ$, de classe CModèle:Exp et calculer $F^{\prime }(x)$.

2. Application : $F(x)=\underset{1}{\overset{1+x^2}{\int }}\ln (x^2+t^2)\mathrm{d}t$

Exercice 7

1. Soient $\varphi =({\varphi }_1,{\varphi }_2):{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ et $f:{ℝ}^2\to ℝ$ deux fonctions différentiables. Exprimer les dérivées partielles de $f\circ \varphi$ à l'aide de celles de $f$ et de $\varphi$.
2. Application à $\varphi :]0,+\mathrm{\infty }[\times ]-\pi ,\pi [\to {ℝ}^2\setminus \{(0,0)\},(r,\theta )\mapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta )$. Soit $f$ une fonction différentiable sur ${ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$.
   1. On pose ${\mathrm{\Theta }}_f(x,y)=x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ et ${\mathrm{\Psi }}_f(x,y)=-y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$. Exprimer ${\mathrm{\Theta }}_f\circ \varphi$ et ${\mathrm{\Psi }}_f\circ \varphi$ à l'aide des dérivées partielles de $f\circ \varphi$ (autrement dit : exprimer en coordonnées polaires les opérateurs différentiels $\mathrm{\Theta }$ et $\mathrm{\Psi }$).
   2. Plus généralement, exprimer $\frac{\partial f}{\partial x}\circ \varphi$ et $\frac{\partial f}{\partial y}\circ \varphi$ à l'aide des dérivées partielles de $f\circ \varphi$.
   3. Exprimer de même le « laplacien en coordonnées polaires », c'est-à-dire $(\mathrm{\Delta }f)\circ \varphi$, où $\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$, à l'aide des dérivées partielles premières et secondes de $f\circ \varphi$.
3. Trouver toutes les fonctions différentiables $f:{ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}\to ℝ$ vérifiant : ${\mathrm{\Theta }}_f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ et admettant une limite en $(0,0)$.

Exercice 8

Modèle:Wikipédia Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels normés ($K=ℝ$ ou $ℂ$), $C$ un cône de $E$, $f:C\to F$ une application différentiable, et $\alpha$ un élément de $K$.

Montrer que $f$ est positivement homogène de degré $\alpha$ (c'est-à-dire $\mathrm{\forall }x\in C\mathrm{\forall }t>0f(tx)=t^{\alpha }f(x)$) si et seulement si elle vérifie la condition d'Euler :

$\mathrm{\forall }x\in C\mathrm{d}{f}_x(x)=\alpha f(x)$.

Exercice 9

Soient $f:ℝ\to ℝ$ et $g:{ℝ}^2\to ℝ$ deux fonctions différentiables. Justifier que les applications suivantes sont différentiables et calculer leur différentielle.

1. $\varphi :ℝ\to ℝ,x\mapsto g(x,-x)$ ;
2. $\psi :{ℝ}^2\to ℝ,(x,y)\mapsto g(y,x)$ ;
3. $h:{ℝ}^2\to ℝ,(x,y)\mapsto f(x+g(x,y))$ ;
4. $k:{ℝ}^2\to ℝ,(x,y)\mapsto f(x{y}^{2}g(x,y))$ ;
5. $\ell :{ℝ}^3\to ℝ,(x,y,z)\mapsto f(x^2+y^2+z^2)$ ;

Exercice 10

Si $f=(P,Q)$ est une application différentiable de ${ℝ}^2$ dans ${ℝ}^2$, on note

$\overline{\partial }f=(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y},\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial x})$.

1. Calculer $\overline{\partial }f$ pour $f(x,y)=(x^2-y^2,2xy)$.
2. Justifier que si $f$ et $g$ sont des applications telles que $\overline{\partial }f=\overline{\partial }g=0$, alors $\overline{\partial }(g\circ f)=0$.

Exercice 11

On considère la fonction $f:ℝ\to ℂ,x\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}$. Montrer que pour tous réels distincts $a$ et $b$, il n'existe aucun réel $c$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime }(c)$. Modèle:Solution

Exercice 12

Soit $F:{ℝ}^2\to {ℝ}^2,(x,y)\mapsto (\cos x-\sin y,\sin x-\cos y)$.

1. Justifier que $F$ est différentiable.
2. Montrer que $\mathrm{\forall }M\in {ℝ}^2|||\mathrm{d}{F}_M|||\le \sqrt{2}$, où $||||||$ désigne la norme subordonnée à la norme euclidienne sur ${ℝ}^2$.
3. En déduire que pour tout $M_0\in {ℝ}^2$, la suite $M$ définie par $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{M}_{n+1}=\frac{1}{2}F(M_n)$ est convergente.

Exercice 13

Déterminer les fonctions dérivables $f:ℝ\to ℝ$ telles que $\mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^{2}f(x+y)=f(x+f(y))$. Modèle:Solution Pour une étude complète de cette équation fonctionnelle, voir Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C#Exercice 4.

Exercice 14

Redémontrer directement le corollaire 1 du cours (dont le corollaire 2 est une conséquence immédiate très utile) dans le cas particulier plus simple où $F$ est l'espace euclidien ${ℝ}^n$, c'est-à-dire :

Soient $a<b$ et $f:[a,b]\to {ℝ}^n$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. Si $\mathrm{\forall }t\in ]a,b[\Vert f^{\prime }(t)\Vert \le M$ alors $\Vert f(b)-f(a)\Vert \le M(b-a)$.

Indication : appliquer le théorème des accroissements finis usuel à la fonction $g:[a,b]\to ℝ,t\mapsto ⟨f(t)\mid f(b)-f(a)⟩$. Modèle:Solution

Exercice 15

Modèle:Wikipédia Soient $E$ et $F$ deux e.v.n. et $f:E\to F$ une application. La dérivée directionnelle de $f$ en un point $a\in E$ selon un vecteur $u\in E$ est par définition la limite suivante, lorsqu'elle existe :

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{t\to 0}{t\ne 0}}{\lim }\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}$.

1. Vérifier que si cette dérivée directionnelle selon $u$ existe, alors celle selon $\lambda u$ existe aussi et est le produit par $\lambda$ de celle selon $u$ (pour tout scalaire $\lambda$).
2. Montrer que si $f$ est différentiable en $a$ alors sa dérivée directionnelle en $a$ selon $u$ existe et est égale à $\mathrm{d}{f}_a(u)$ (pour tout vecteur $u\in E$).
3. Montrer que si, pour toute courbe $\gamma :ℝ\to E$ telle que $\gamma (0)=a$ et ${\gamma }^{\prime }(0)=u$, la fonction $f\circ \gamma$ est dérivable en $0$, alors $f$ admet en $a$ une dérivée directionnelle selon $u$.