Espace vectoriel/Dimension

On a considéré des familles libres, des familles génératrices et on a défini une base comme une famille à la fois libre et génératrice. Tout comme dans le cas général des modules, on peut considérer des parties libres et des parties génératrices d'un espace vectoriel. On peut aussi considérer des parties basiques d'un espace vectoriel, c'est-à-dire des parties à la fois libres et génératrices. Ces parties basiques sont généralement appelées elles aussi des bases. Pour les détails, le lecteur peut se reporter au chapitre Module sur un anneau/Définitions.

Soient E et F deux $𝕂$-espaces vectoriels.

Dimension

La démonstration qui précède repose sur le théorème de Jordan-Hölder. Toujours dans le cas où toutes les bases de V sont finies, voici une démonstration qui ne repose pas sur le théorème de Jordan-Hölder. Modèle:Théorème (Le lecteur est invité à traiter le cas $n=1$ en « éliminant » $x_1$, puis à déduire, toujours par « élimination » d'un $x_i$, le cas $n=2$ du cas $n=1.$ Cela le mettra sur la voie de la démonstration générale et lui permettra de la retrouver facilement de mémoire.) Modèle:Démonstration déroulante

Remarque. On trouvera un résultat un peu plus précis que le précédent sur la page Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension (lemme de Steinitz, exercice 2-1).

Si maintenant $(x_1,\dots ,x_r)$ et $(y_1,\dots ,y_s)$ sont deux bases finies d'un même K-espace vectoriel (à gauche ou à droite), les $y_i$ sont engendrés par les $x_j.$ Si on avait $s>r$, alors, d'après le lemme qui précède, les $y_i$ seraient liés, ce qui est faux, puisqu'ils sont supposés former une base. Donc $s\le r$ et, de même, $r\le s$, donc $r=s$, ce qui prouve que toutes les bases finies d'un même K-espace vectoriel sont équipotentes. On sait déjà (voir Module sur un anneau/Définitions#Modules libres et de types finis) que si un A-module (à gauche ou à droite) admet une base infinie, toutes ses bases sont équipotentes, donc nous avons démontré que, dans tous les cas, toutes les bases d'un même K-espace vectoriel sont équipotentes.

Modèle:Définition

Par exemple, la dimension de {0} est 0.

Modèle:Proposition Par exemple, si E est de dimension finie $n$, alors il est isomorphe à ${𝕂}^n$.