Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales

Exercice 5-1

Soit $ℬ=(e_1,e_2,e_3)$ une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien $E$. Soit $p$ l'endomorphisme dont la matrice dans la base $ℬ$ est

$M=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 3\\ -3& 10& 1\\ 3& 1& 10\end{array}\right)$.

Montrer que $p$ est une projection orthogonale et préciser sa « base » $\mathrm{Im}p$. Modèle:Solution Même question pour

$M=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 4& -2\\ -1& -2& 1\end{array}\right)$.

Exercice 5-2

Soient $E$ un espace euclidien et $f$ un endomorphisme de $E$.

1. Démontrer que pour tout polynôme $P\in ℝ[X]$, ${(P(f))}^{*}=P(f^{*})$. En déduire que $f$ et $f^{*}$ ont même polynôme minimal. Prouver que $f^{*}$ est diagonalisable si et seulement si $f$ l'est.
2. On rappelle (cf. w:Opérateur adjoint#Orthogonalité) que pour tout $u\in \mathrm{L}(E)$, $\ker (u^{*})=(\mathrm{i}\mathrm{m}(u){)}^{\perp }$. Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires dans $E$ et $p$ la projection sur $F$ parallèlement à $G$.
   1. Montrer, à l'aide du rappel et de la question 1, que $p^{*}$ est la projection sur $G^{\perp }$ parallèlement à $F^{\perp }$.
   2. En déduire que $p^{*}=p$ si et seulement si $F$ et $G$ sont orthogonaux.
3. $E$ est dans cette question l'espace ${ℝ}^3$ muni de son produit scalaire usuel. Soient $F=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x-y+z=0\}$ et $\pi$ l'opérateur de projection orthogonale sur $F$. Donner la matrice $A$ de $\pi$ dans la base canonique de ${ℝ}^3$. Quelle propriété possède $A$ et pouvait-on la prévoir ?

Exercice 5-3

On munit $E={ℝ}_n[X]$ du produit scalaire $\phi (P,Q)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}P(x)Q(x)\mathrm{d}x$. Soit $D\in E$ un polynôme de degré $d$, avec $0<d\le n$. Pour tout $P\in E$, on note $f(P)$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $D$.

1. Montrer que $f$ est un projecteur de $E$. Déterminer son noyau et son image.
2. On suppose que $d<n$ et que $f$ est une projection orthogonale. Montrer que pour tout $i\le n-d$ et pour tout $j<d$, on a $\phi (D{X}^i,X^j)=0$. En déduire que $\phi (D,D)=0$ et donc $D=0$.
3. On suppose que $d=n$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit une projection orthogonale.

Exercice 5-4

Soit $E={\mathrm{M}}_4(ℝ)$ muni du produit scalaire $\phi (P,Q)=\frac{1}{4}\mathrm{trace}({}^{\mathrm{t}}PQ)$. Soient

$U=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right),F=\mathrm{Vect}(I,U,U^2,U^3),V=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$.

1. Montrer que $(I,U,U^2,U^3)$ est une base orthonormale de $F$.
2. Déterminer la projection orthogonale de $V$ sur $F$.
3. En déduire la distance de $V$ à $F$.

Exercice 5-5

On se place dans ${ℝ}^3$ muni de son produit scalaire usuel. Pour quelles valeurs de $t\ne 0$ la matrice

$M=-\frac{2}{3}\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& t& 1\\ t^{-1}& -\frac{1}{2}& t^{-1}\\ 1& t& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

représente-t-elle (dans la base canonique de ${ℝ}^3$) une symétrie orthogonale ? Modèle:Solution

Exercice 5-6

Diagonaliser dans une base orthonormale (pour le produit scalaire canonique de ${ℝ}^3$) la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}5& -1& 2\\ -1& 5& 2\\ 2& 2& 2\end{array}\right)$.

Interpréter géométriquement la transformation de ${ℝ}^3$ représentée par cette matrice. Modèle:Solution

Exercice 5-7

Soient $E$ un espace euclidien, $F$ un sous-espace, $(e_1,\dots ,e_m)$ une base orthonormée de $F$, $p$ la projection orthogonale sur $F$, $q$ celle sur $F^{\perp }$, $s$ la symétrie orthogonale par rapport à $F$ et $t$ celle par rapport à $F^{\perp }$.

Montrer que $\mathrm{\forall }x\in Ep(x)=\sum _{i=1}^m⟨x,e_i⟩e_i$, puis exprimer de même $q,s,t$. Modèle:Solution Dans ${ℝ}^3$ euclidien, soit $D$ une droite vectorielle dirigée par un vecteur unitaire $u=(a,b,c)$. Former les matrices $P$ et $S$, dans la base canonique, de la projection orthogonale $p$ sur $D$ et du retournement $s$ autour de $D$. Justifier les égalités suivantes : $P^2=P$, $S^2=\mathrm{I}$, $P^t=P$, $S^t=S$, $PS=SP=P$. Modèle:Solution

Exercice 5-8

Soient $E$ un espace euclidien de dimension $\ge 2$ et $x,y\in E$. Montrer que :

1. s'il existe une symétrie orthogonale $s$ par rapport à un hyperplan telle que $y=s(x)$ alors $\Vert y\Vert =\Vert x\Vert$ ;
2. s'il existe une projection orthogonale $p$ sur un hyperplan telle que $y=p(x)$ alors $\Vert y{\Vert }^2=⟨x,y⟩$ ;
3. les réciproques sont vraies.