Espace euclidien/Exercices/Matrices orthogonales

Exercice 3-1

Soit B une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un K-espace vectoriel de dimension n.

Soit $\phi \in O(B)$, c'est-à-dire $\phi :E\to E$ une application linéaire telle que $B(\phi (u),\phi (v))=B(u,v)$ pour tout $u,v\in E$.

1. Trouver une relation entre les matrices de φ et B dans une même base.
2. Montrer que det φ = ±1.
3. Soit $P_{\phi }$ le polynôme caractéristique de φ. Montrer que

   $P_{\phi }(X)=(-X{)}^n(\det \phi )P_{\phi }(X^{-1}).$

   Indication. Soit A la matrice de φ. En utilisant 1., montrer que $A^T$ est semblable à $A^{-1}$.

4. Soit Modèle:Surligner un corps contenant K tel que $P_{\phi }$ se décompose en facteurs linéaires sur $\bar{K}$ (par exemple, si $K=ℝ$ ou $\mathbb{Q}$, on peut supposer que $\bar{K}=ℂ$).
   Montrer que si $\lambda \in \bar{K}$ est racine de $P_{\phi }$, alors $1/\lambda$ est aussi une racine de $P_{\phi }$, de la même multiplicité.

Exercice 3-2

1. Montrer que l'endomorphisme de ${ℝ}^2$ donné par la matrice $\left(\begin{array}{cc}t& 0\\ 0& t^{-1}\end{array}\right)$ est B-orthogonal pour $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.
2. On note $R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$. Montrer que l'endomorphisme de ${ℝ}^4$ donné par la matrice $\left(\begin{array}{cc}t{R}_{\theta }& 0\\ 0& t^{-1}{R}_{\theta }\end{array}\right)$ est B-orthogonal pour $B=\left(\begin{array}{cc}0& {\mathrm{I}}_2\\ {\mathrm{I}}_2& 0\end{array}\right)$.
3. Soit P un polynôme à coefficients réels qui vérifie la condition de la question 4 de l'exercice précédent. Montrer qu'il existe une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B et un opérateur B-orthogonal dont le polynôme caractéristique est P à un facteur constant près.

Exercice 3-3

1. Existe-t-il une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B sur ${ℝ}^2$ telle que la matrice de Jordan $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ soit B-orthogonale ?
2. Même question (sur ${ℝ}^3$) pour $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Exercice 3-4

On rappelle (cf. Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables#Exercice 1-6) que pour tout endomorphisme d'un $ℝ$-espace vectoriel de dimension finie, il existe un sous-espace stable de dimension 1 ou 2.

Soient E un espace euclidien et $\phi \in O(E)$.

1. Montrer que toutes les valeurs propres de φ sont de module 1 (en particulier ses seules éventuelles valeurs propres réelles sont 1 et –1).
2. Montrer que pour tout sous-espace F stable par φ, le sous-espace FModèle:Exp est aussi stable par φ.
3. Montrer qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de φ est de la forme

   $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}{R}_{{\theta }_1}& & \\ & \ddots & \\ & & R_{{\theta }_k}\end{array}& 0\\ 0& \begin{array}{ccc}\pm 1& & \\ & \ddots & \\ & & \pm 1\end{array}\end{array}\right)$, avec $R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$.

4. Montrer que cette matrice est diagonalisable sur $ℂ$.

Modèle:Solution Soit φ un endomorphisme de E antisymétrique, c'est-à-dire tel que φ* = –φ. Montrer de même qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de φ est de la forme

$\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}{\lambda }_1{R}_{\pi /2}& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_k{R}_{\pi /2}\end{array}& 0\\ 0& \begin{array}{ccc}0& & \\ & \ddots & \\ & & 0\end{array}\end{array}\right)$, avec ${\lambda }_k\in ℝ$.

Exercice 3-5

À l'aide de l'exercice précédent, démontrer que tout endomorphisme orthogonal d'un espace euclidien est à la fois :

1. composé de réflexions (c'est-à-dire symétries orthogonales par rapport à des hyperplans) ;
2. composé de deux symétries orthogonales.

Exercice 3-6

Soient E un plan euclidien et φ une similitude de E dont la matrice dans une certaine base (u, v) est de la forme $A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ avec $b\ne 0$. Montrer que u et v sont orthogonaux et de même norme. Modèle:Solution

Exercice 3-7

Déterminer la nature d'un endomorphisme orthogonal φ de ${ℝ}^3$ ainsi que l'angle de rotation, en fonction du déterminant et de la trace de φ. Modèle:Solution

Exercice 3-8

Pour chacune des quatre matrices orthogonales suivantes, trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice prend la forme canonique de l’exercice 3-4 :

$A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 2& 2& -1\\ -1& 2& 2\end{array}\right),B=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -\sqrt{6}\\ 1& 3& \sqrt{6}\\ \sqrt{6}& -\sqrt{6}& 2\end{array}\right),C=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right),D=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& 1-\sqrt{3}& 1+\sqrt{3}\\ 1+\sqrt{3}& 1& 1-\sqrt{3}\\ 1-\sqrt{3}& 1+\sqrt{3}& 1\end{array}\right)$.

Modèle:Solution Déterminer la nature des transformations de ${ℝ}^3$ dont les matrices dans la base canonique sont :

$A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -2\\ -2& 1& -2\\ 2& 2& -1\end{array}\right)$, $B=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}3& 1& \sqrt{6}\\ 1& 3& -\sqrt{6}\\ -\sqrt{6}& \sqrt{6}& 2\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& -1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& -1\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$.

Soient $E$ un espace euclidien de dimension 3 orienté, et $ℬ$ une base orthonormée directe (b.o.n.d.) de $E$. Caractériser l'endomorphisme $f_i$ de matrice $M_i$ dans $ℬ$.

$M_1=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}8& -1& -4\\ -1& 8& -4\\ -4& -4& -7\end{array}\right)$, $M_2=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 2& -2& -1\\ -1& -2& 2\end{array}\right)$.

Trouver les réels $a,b,c$ pour que la matrice suivante soit dans $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$ :

$U=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{3}& -1/\sqrt{2}& a\\ 1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{2}& b\\ 1/\sqrt{3}& 0& c\end{array}\right)$.

Exercice 3-9

Soient $E$ un espace euclidien de dimension 3 orienté, et $ℬ=(i,j,k)$ une base orthonormée directe de $E$. Écrire la matrice dans $ℬ$ de la rotation d'axe $i+j-k$ et d'angle $\pi /3$. Modèle:Solution

Exercice 3-10

Soient $E$ un espace euclidien de dimension $q$ et $a\in \mathrm{L}(E)$ tel que $a^3={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. On définit alors la forme bilinéaire symétrique sur $E$ :

$B(x,y)=⟨x,y⟩+⟨a(x),a(y)⟩+⟨a^2(x),a^2(y)⟩$.

1. Montrer que $B$ est un produit scalaire sur $E$.
2. Démontrer que $a$ est orthogonal pour le produit scalaire $B$.
3. Montrer que $\det a=1$. Qu'en déduit-on sur la matrice de $a$ dans une base orthonormée pour $B$ ?
4. On suppose désormais $q=2$ et $E={ℝ}^2$ euclidien canonique. On considère une matrice $A\in {\mathrm{M}}_2(ℝ)$ telle que $A^3={\mathrm{I}}_2$ et $A\ne {\mathrm{I}}_2$. Soit $R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$. Déduire de la question précédente qu'il existe $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(ℝ)$ telle que $A=PR(\pm 2\pi /3)P^{-1}$.

Exercice 3-11

Soient $E$ euclidien de dimension 4 et $\epsilon =(e_1,\dots ,e_4)$ une base orthonormée de $E$. Soient $A=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cccc}0& -2\sqrt{2}& 2\sqrt{2}& 0\\ 2\sqrt{2}& 1& 1& -\sqrt{6}\\ -2\sqrt{2}& 1& 1& -\sqrt{6}\\ 0& \sqrt{6}& \sqrt{6}& 2\end{array}\right)$ et $u\in \mathrm{L}(E)$ de matrice $A$ dans $\epsilon$.

1. Montrer que $u\in {\mathrm{O}}^{+}(E)$.
2. Soit $F$ le plan engendré par $e_1$ et $u(e_1)$. Montrer que $F$ est stable par $u$ et que la restriction de $u$ à $F$ est une rotation.
3. Montrer que le plan $F^{\perp }$ est stable par $u$ et est engendré par $e_4$ et $u(e_4)$. La restriction de $u$ à $F^{\perp }$ est-elle une rotation ?

Exercice 3-12

Dans ${ℝ}^3$ euclidien, soient $f,g$ deux rotations, distinctes de l'identité. Montrer que $f\circ g=g\circ f$ si et seulement si $f$ et $g$ sont soit deux rotations de même axe, soit deux retournements par rapport à deux droites orthogonales. Dans ce second cas, montrer que $f\circ g$ est un retournement. Modèle:Solution

Exercice 3-13

Dans ${ℝ}^3$ euclidien orienté, soient $r$ la rotation d'angle $\alpha$ autour d'un vecteur non nul $x$, et $g$ une rotation quelconque. Montrer que $g\circ r\circ g^{-1}$ est la rotation d'angle $\alpha$ autour de $g(x)$. Modèle:Solution

Exercice 3-14

(Simplicité de $\mathrm{S}\mathrm{O}({ℝ}^3)$) Soit $G$ un sous-groupe distingué du groupe $\mathrm{S}\mathrm{O}({ℝ}^3)$ des rotations de ${ℝ}^3$. On suppose $G$ non réduit au neutre (l'identité de ${ℝ}^3$) et l'on va montrer qu'alors $G$ contient au moins un retournement (c), puis qu'il les contient tous (d), puis finalement que $G=\mathrm{S}\mathrm{O}({ℝ}^3)$ tout entier (e).

a) Soit $f$ un élément de $G$ différent de l'identité. En considérant les $f^n=f\circ f\circ \dots f$, montrer qu'il existe dans $G$ au moins une rotation $g$ d'angle $\theta$ tel que $\cos \theta <0$.

b) Montrer qu'il existe un vecteur non nul $x$ tel que $g(x)\perp x$.

c) On note $r$ le retournement autour de $ℝx$ et $R=r\circ g\circ r\circ g^{-1}$.

i) Montrer que $R\in G$.

ii) Montrer que $R$ est un retournement (utiliser le résultat des deux exercices précédents).

d) Soit $s$ un retournement arbitraire.

i) Montrer qu'il existe une rotation $t$ telle que $t\circ R\circ t^{-1}=s$ (utiliser le résultat de l'exercice précédent).

ii) En déduire que $s\in G$.

iii) En déduire que $G$ contient tous les retournements.

e)

i) Démontrer que toute rotation dans ${ℝ}^3$ est un produit de deux retournements.

ii) En déduire que $G=\mathrm{S}\mathrm{O}({ℝ}^3)$. Modèle:Solution