Dualité/Exercices/Propriétés

Exercice 1

Sur l'espace vectoriel E des suites réelles convergentes, soit ${\left({\phi }_i\right)}_{i\in \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}}$ la famille de formes linéaires définie par ${\phi }_n(x)=x_n$ si $n\in \mathbb{N}$ et ${\phi }_{\mathrm{\infty }}=\lim$.

1. Vérifier que cette famille est libre.
2. Donner un exemple de famille ${\left({\lambda }_i\right)}_{i\in \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}}$ de réels telle qu'il n'existe aucune suite $x\in E$ vérifiant $\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}{\phi }_i(x)={\lambda }_i$.

Exercice 2

1. Montrer (par récurrence sur $n$) que si $({\phi }_1,\dots ,{\phi }_n)$ est une famille libre finie de formes (linéaires) sur un K-espace vectoriel E, il existe des vecteurs $x_1,\dots ,x_n$ tels que $\mathrm{\forall }i,j\le n{\phi }_i\left(x_j\right)={\delta }_{i,j}$ (autrement dit : l'application linéaire $({\phi }_1,\dots ,{\phi }_n):E\to K^n$ est surjective).
2. Retrouver ainsi (cf. Application linéaire/Exercices/Rang#Exercice 3-2) qu'une forme est combinaison linéaire d'un ensemble fini de formes données si (et seulement si) son noyau contient l'intersection des leurs.

Modèle:Wikipédia Soient $E,F$ deux espaces vectoriels. Soit $L:E\to F$ une application linéaire. Son application linéaire transposée est notée $L^t$ ($L^t:F^{*}\to E^{*},\phi \mapsto \phi \circ L$). Pour tout s.e.v. $G$ de $E$ on note $G^{\mathrm{\perp }}$ le s.e.v. de $E^{*}$ constitué des formes linéaires qui s'annulent sur $G$ (de même, pour tout s.e.v. $H$ de $F$, on note $H^{\mathrm{\perp }}$…).

1. Démontrer que $\ker (L^t)=(\mathrm{im}L{)}^{\mathrm{\perp }}$.
2. En déduire que $L^t$ est injective si et seulement si $L$ est surjective.
3. Démontrer que $\mathrm{im}(L^t)=(\ker L{)}^{\mathrm{\perp }}$.
4. En déduire que $L^t$ est surjective si et seulement si $L$ est injective.
5. On suppose désormais $F={ℝ}^m$, et l'on note $L_i$ les composantes de $L$. Déduire de 2) que $L$ est surjective si et seulement si $(L_1,\dots ,L_m)$ est libre. Déduire de 4) que $L$ est injective si et seulement si $(L_1,\dots ,L_m)$ engendre $E^{*}$.

Exercice 3

1. Montrer que les trois vecteurs $e_1=(1,2,4)$, $e_2=(0,1,1)$ et $e_3=(1,1,1)$ forment une base de ${ℝ}^3$ et trouver la base duale. Modèle:Solution 2. Soient $E$ un $ℝ$-espace vectoriel de dimension 3 et $(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$ et $(e_1^{\ast },e_2^{\ast },e_3^{\ast })$ la base duale de $E^{*}$. Soient

${\phi }_1=2e_1^{*}+e_2^{*}+e_3^{*},{\phi }_2=-e_1^{*}+2e_3^{*},{\phi }_3=e_1^{*}+3e_2^{*}$.

Montrer que $({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3)$ est une base de $E^{*}$ et déterminer sa base préduale, c'est-à-dire la base $(f_1,f_2,f_3)$ de $E$ dont elle est la base duale. Modèle:Solution 3. Sur $E={ℝ}_3[X]$, on considère les cinq formes linéaires ${\phi }_1$, ${\phi }_2$, ${\phi }_3$, ${\phi }_4$ et $\psi$ définies par :

${\phi }_1(P)=P(0),{\phi }_2(P)=P^{\prime }(0),{\phi }_3(P)=P(1),{\phi }_4(P)=P^{\prime }(1),\psi (P)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}P$ (pour tout $P\in E$).

1. Montrer que $({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3,{\phi }_4)$ est une base de $E^{*}$ et déterminer sa base préduale $(H_1,H_2,H_3,H_4)$.
2. Déterminer les coordonnées de $\psi$ dans la base $({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3,{\phi }_4)$.

Exercice 4

Soient $E={ℝ}_n[X]$ et pour tout $k\in \{0,\dots ,n\}$ et $P\in E$, $T_k(P)=\frac{P^{(k)}(0)}{k!}$.

1. Justifier que pour tout $k\in \{0,\dots ,n\}$, $T_k$ est une forme linéaire sur $E$.
2. Montrer que la famille $(T_0,\dots ,T_n)$ est la base duale de la base canonique de $E$.