Application linéaire/Exercices/Rang

Exercice 3-1

Soient $A\in {ℳ}_{3,2}(ℝ)$ et $B\in {ℳ}_{2,3}(ℝ)$ telles que $AB=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -1\\ -1& 0& -1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$. Montrer que $BA=I_2$. Modèle:Solution

Exercice 3-2

1. Soient $u\in \mathrm{L}(E,F)$ et $w\in \mathrm{L}(E,G)$ tels que $\ker u\subset \ker w$. Montrer qu'il existe $v\in \mathrm{L}(F,G)$ tel que $w=v\circ u$.
2. Soient $\psi ,{\phi }_1,\dots ,{\phi }_n$ des formes linéaires sur $E$, telles que $\ker \psi$ contient l'intersection des $\ker {\phi }_i$. Déduire de la question précédente que $\psi$ est une combinaison linéaire des ${\phi }_i$.

Exercice 3-3

Soit $f$ un endomorphisme de ${ℝ}^3$ tel que $f\circ f=0$.

1. Montrer que $\mathrm{rang}(f)\le 1$.
2. En déduire qu'il existe un vecteur $v\in {ℝ}^3$ et une forme linéaire $g$ tels que

   $\mathrm{\forall }u\in {ℝ}^{3}f(u)=g(u)v$.