Droites et plans de l'espace/Définition et paramétrage d'un plan

Présentation générale

La définition et la représentation paramétrique d'un plan sont analogues à celles d'une droite, à ceci près que la direction n'est plus donnée par un vecteur (non nul) mais par deux vecteurs (non colinéaires), ce qui fera donc intervenir deux paramètres. Un plan sera ainsi défini par un point et deux vecteurs non colinéaires, ou par trois points non alignés.

Définition d'un plan affine

Remarques

• L'application ${ℝ}^2\to A+ℝ\overrightarrow{u}+ℝ\overrightarrow{v},(s,t)\mapsto A+s\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}$ est une bijection, c'est-à-dire que chaque point du plan correspond à une valeur du couple de réels $(s,t)$ et réciproquement. Le point $A$ correspond à $(s,t)=(0,0)$.
• $(A;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ est un repère du plan $A+ℝ\overrightarrow{u}+ℝ\overrightarrow{v}$.

Représentation paramétrique

Étant donné un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, la représentation paramétrique d'un plan s'écrit donc :

• pour un plan défini par un point $A$ et deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{u}=\alpha \overrightarrow{i}+\beta \overrightarrow{j}+\gamma \overrightarrow{k},\overrightarrow{v}={\alpha }^{\prime }\overrightarrow{i}+{\beta }^{\prime }\overrightarrow{j}+{\gamma }^{\prime }\overrightarrow{k}$ :

• pour un plan défini par trois points non alignés $A,B,C$ :Modèle:Encadre

On reconnaît l'écriture des coordonnées du barycentre de $(A,1-s-t),(B,s),(C,t)$.