Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable très facile

Les changements de variable présentés dans cette page ne présentent pas de difficulté ou sont des applications immédiates du cours.

Exercice 1-1

Calculer :

1. $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\cos x}{1+\sin x}\mathrm{d}x$ ;
2. $\underset{\frac{\pi }{3}}{\overset{\frac{2\pi }{3}}{\int }}\frac{\cos x}{1+\sin x}\mathrm{d}x$ ;
3. $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{{\sin }^{2}x\cos x}{4-{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x$.

Exercice 1-2

Calculer l'intégrale impropre :

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^5}{x^{12}+1}\mathrm{d}x$.

Exercice 1-3

Calculer une primitive de

$x\mapsto {\mathrm{e}}^{-\sqrt{x}}$.

Exercice 1-4

Calculer :

$a)\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}xb)\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x$

Exercice 1-5

Calculer :

$\underset{1}{\overset{\mathrm{e}}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x(1+\ln x)}$.

Exercice 1-6

Calculer :

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-1}}$.

Exercice 1-7

Calculer la primitive sur $ℝ$ nulle en 0 de

$x\mapsto \frac{x}{\sqrt{x^4+1}}$.

Exercice 1-8

Calculer les intégrales suivantes :

$I_1=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}},I_2=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{1+{\mathrm{e}}^x}\mathrm{d}x,I_3=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x,I_4=\underset{1}{\overset{2\sqrt{2}}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x+\sqrt[3]{x}}$.

Exercice 1-9

Calculer une primitive de ${\mathrm{e}}^{\arcsin t}$. Modèle:Solution

Exercice 1-10

1. Soit $f:[a,b]\to ℝ$ continue, vérifiant $\mathrm{\forall }x\in [a,b]f(a+b-x)=f(x)$. Exprimer $I:=\underset{a}{\overset{b}{\int }}xf(x)\mathrm{d}x$ en fonction de $J:=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.
2. En déduire la valeur de $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{x}{1+\sin x}\mathrm{d}x$.