Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles non linéaires

$I$ désignera un intervalle réel et $\mathrm{\Omega }$ un ouvert de ${ℝ}^n$. Modèle:Clr

Exercice 1

Soit $f:I\times \mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$. On suppose que l'intervalle $I$ est compact et que pour tout $x\in \mathrm{\Omega }$, l'application $I\to {ℝ}^n,t\mapsto f(t,x)$ est bornée (ce qui est le cas si elle est continue). Montrer l'équivalence entre :

1. $f$ est localement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable ;
2. $\mathrm{\forall }{x}_0\in \mathrm{\Omega }\mathrm{\exists }\epsilon >0\mathrm{\exists }M\in ℝ\mathrm{\forall }t\in I\mathrm{\forall }x,y\in B(x_0,\epsilon )\Vert f(t,x)-f(t,y)\Vert \le M\Vert x-y\Vert$ ;
3. $\mathrm{\forall }K\text{ compact }\subset \mathrm{\Omega }\mathrm{\exists }M\in ℝ\mathrm{\forall }t\in I\mathrm{\forall }x,y\in K\Vert f(t,x)-f(t,y)\Vert \le M\Vert x-y\Vert$.

Exercice 2

Soient $E$ un espace de Banach, $U$ un ouvert de $ℝ\times E$, $f:U\to E$ une fonction localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable et continue, et $x:J=]a,b[\to E$ une solution maximale de l'équation différentielle $x^{\prime }=f(t,x)$.

1. Montrer que si $b$ est fini et si $x^{\prime }$ est bornée au voisinage de $b$, alors $x$ admet au point $b$ une limite $c$ et le couple $(b,c)$ appartient à la frontière de $U$.
2. En déduire que si $U=I\times \mathrm{\Omega }$ et si $x(J)$ est inclus dans un compact de $\mathrm{\Omega }$, alors $J=I$.

Exercice 3

Soient $V:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ une fonction continue, et $x:]0,+\mathrm{\infty }[\to \mathrm{\Omega }$ une solution de $x^{\prime }=V\left(x\right)$ telle que $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x\left(t\right)=a\in \mathrm{\Omega }$.

Montrer que $V\left(a\right)=0$.

Exercice 4

Soit $V:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ de classe CModèle:Exp et bornée. Pour $x\in {ℝ}^n,$ on note $t\mapsto X^t\left(x\right)$ la solution de

$\dot{X}=V\left(X\right),X\left(0\right)=x$.

1. Montrer que cette solution est définie sur $ℝ$.
2. Montrer que $\mathrm{\forall }t,s\in ℝX^t\circ X^s=X^{t+s}$.

Exercice 5

Soit $x$ une solution d'une équation différentielle $x^{\prime }\left(t\right)=f(t,x\left(t\right))$. Démontrer que si $f$ est de classe CModèle:Exp alors $x$ est de classe CModèle:Exp. Modèle:Solution

Exercice 6

Référence : exo7.emath.fr/ficpdf/fic00053.pdf, Équations différentielles (énoncés : M. Queffélec, V. Mayer, T. Tahani, F. Sarkis ; corrections : F. Sarkis), exercice 3.

Soit $x_0\in ℝ$. On considère le problème de Cauchy $x^{\prime }=\left|x\right|+\left|t\right|,x\left(0\right)=x_0$.

1. Montrez qu'il existe une unique solution maximale $x$ et qu'elle est globale (c'est-à-dire définie sur $ℝ$).
2. Calculer la solution dans le cas $x_0=1$.
3. Étudier la régularité de cette solution.

Exercice 7

Référence : exo7.emath.fr/ficpdf/fic00053.pdf, Équations différentielles (énoncés : M. Queffélec, V. Mayer, T. Tahani, F. Sarkis ; corrections : F. Sarkis), exercice 4.

Soit $f:{ℝ}^2\to ℝ$ donnée par : $f(t,x)=\frac{4t^{3}x}{t^4+x^2}$ si $(t,x)\ne (0,0)$ et $f(0,0)=0$. On s'intéresse à l'équation différentielle $x^{\prime }=f(t,x)$.

1. Le théorème de Cauchy-Lipschitz local s'applique-t-il ?
2. Soit $x$ une solution sur un intervalle ne contenant pas $0$. On pose $y\left(t\right)=t^{-2}x\left(t\right)$. Traduire l'équation différentielle sur $x$ par une équation différentielle sur $y$ et résoudre cette dernière.
3. Que peut-on en déduire sur l'existence et l'unicité des solutions $x$ du problème de Cauchy $x^{\prime }=f(t,x),x\left(0\right)=0$ ?

Exercice 8

Référence : Modèle:Lien web, lemme 7.22

Soient $u,v:I\to E$ deux solutions de l'équation différentielle $x^{\prime }=f(t,x)$. On suppose que $f$ est $k$-lipschitzienne par rapport à sa seconde variable sur la réunion des graphes de $u$ et $v$. Démontrer que $\mathrm{\forall }s,t\in I\Vert u\left(s\right)-v\left(s\right)\Vert \le \Vert u\left(t\right)-v\left(t\right)\Vert {\mathrm{e}}^{k|s-t|}$.

On utilisera le lemme suivant, qui est un exercice sur les propriétés de l'intégrale :

pour tous $s,k\ge 0$ et $c\in ℝ$, si une fonction continue $g:[0,s]\to ℝ$ vérifie $\mathrm{\forall }r\in [0,s]g\left(r\right)\le k\underset{0}{\overset{r}{\int }}(c+g\left(h\right))\mathrm{d}h$, alors $g\left(s\right)\le c({\mathrm{e}}^{ks}-1)$.

Exercice 9

On considère le problème de Cauchy

$u^{\prime }\left(t\right)=\sin u\left(t\right),u\left(0\right)=x_0$.

1. Montrer que la solution maximale est unique et globale.
2. Pour quelles valeurs de $x_0$ est-elle constante ?
3. Soit $x_0\in ]0,\pi [$. Déterminer le comportement (monotonie ? limites ?) de la solution maximale du problème de Cauchy.
4. Étudier de même le problème de Cauchy $v^{\prime }\left(t\right)=\cos v\left(t\right),v\left(0\right)=x_0$.

Exercice 10

On considère le problème de Cauchy

$u^{\prime }=u^3,u\left(0\right)=x_0$.

1. Montrer que la solution maximale est unique.
2. Pour quelles valeurs de $x_0$ est-elle constante ?
3. Comment la solution maximale $w$ de $w^{\prime }=-w^3,w\left(0\right)=x_0$ se déduit-elle de la solution maximale $u$ du problème de Cauchy ci-dessus ?
4. Comment la solution maximale $u$ du problème de Cauchy ci-dessus pour chaque $x_0<0$ se déduit-elle de celle pour chaque $x_0>0$ ? On supposera donc désormais $x_0>0$.
5. Soit $u:]a,b[\to ℝ$ la solution maximale. Montrer que $u$ est (strictement) positive et croissante et en déduire $a$ et $\underset{a}{\lim }u$.
6. Par le calcul, retrouver ces résultats et donner $b$ et $\underset{b}{\lim }u$.
7. La fonction $x\mapsto x^3$ est-elle lipschitzienne sur $ℝ$ ?
8. On considère maintenant le problème de Cauchy non autonome

   $v^{\prime }=v^3+1+t,v\left(0\right)=x_0$.

   1. Montrer que la solution maximale est encore unique et qu'elle est CModèle:Exp.
   2. On suppose toujours $x_0>0$. Soit $v:]c,d[\to ℝ$ la solution maximale. Montrer que $\mathrm{\forall }t\in ]0,\min (b,d)[v\left(t\right)>u\left(t\right)$ et en déduire que $d\le b$.

Exercice 11

1. Résoudre $u^{\prime }=\sqrt{|u|}$.
2. La fonction $x\mapsto \sqrt{|x|}$ est-elle lipschitzienne sur un voisinage à gauche ou à droite de $0$ ?

Exercice 12

Modèle:Wikipédia I. Soient $a,b,c,d>0$. On considère le système

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=ax-bxy\\ y^{\prime }=-cy+dxy\\ x\left(0\right)=x_0,y\left(0\right)=y_0.\end{array}$

1. Montrer que la solution maximale $(x,y)$ est unique.
2. Résoudre le problème de Cauchy pour $y_0=0$.
3. Résoudre le problème de Cauchy pour $x_0=0$.
4. En déduire que si $x_0,y_0>0$ alors $x,y>0$.
5. On considère $H:{]0,+\mathrm{\infty }[}^2\to ℝ,(x,y)\mapsto dx-c\ln x+by-a\ln y$. Toujours dans le cas $x_0,y_0>0$, montrer que la fonction $t\mapsto H(x\left(t\right),y\left(t\right))$ est constante et en déduire que la solution maximale $(x,y)$ est globale.

II.  On suppose toujours $x_0,y_0>0$.

1. Déterminer les signes de $x^{\prime }\left(t\right)$ et $y^{\prime }\left(t\right)$ selon la zone de ${]0,+\mathrm{\infty }[}^2$ dans laquelle se trouve $(x\left(t\right),y\left(t\right))$.
2. On suppose par exemple que $x_0\in ]0,\frac{c}{d}[$ et $y_0\in ]0,\frac{a}{b}[$. Montrer qu'il existe un premier instant $t_1>0$ tel que $x\left(t_1\right)=\frac{c}{d}$ et qu'alors, $y\left(t_1\right)<\frac{a}{b}$ et $x^{\prime }\left(t_1\right)>0$.
3. Montrer qu'il existe un premier instant $t_2>t_1$ tel que $y\left(t_2\right)=\frac{a}{b}$ et qu'alors, $x\left(t_2\right)>\frac{c}{d}$ et $y^{\prime }\left(t_2\right)>0$.
4. Montrer qu'il existe un premier instant $t_3>t_2$ tel que $x\left(t_3\right)=\frac{c}{d}$ et qu'alors, $y\left(t_3\right)>\frac{a}{b}$ et $x^{\prime }\left(t_3\right)<0$.
5. Montrer qu'il existe un premier instant $t_4>t_3$ tel que $y\left(t_4\right)=\frac{a}{b}$ et qu'alors, $x\left(t_4\right)<\frac{c}{d}$ et $y^{\prime }\left(t_3\right)<0$.
6. Montrer enfin qu'il existe un premier instant $t_5>t_4$ tel que $x\left(t_5\right)=\frac{c}{d}$ et qu'alors, $y\left(t_5\right)<\frac{a}{b}$.
7. Vérifier que l'application $]0,\frac{a}{b}[\to ℝ,y\mapsto H(\frac{c}{d},y)$ est injective et en déduire que $(x,y)$ est $(t_5-t_1)$-périodique.

Modèle:Solution III.  Calculer les valeurs moyennes de $x$ et $y$ sur une période. Modèle:Solution

Exercice 13

On s'intéresse au problème de Cauchy (scalaire d'ordre 2) :

${\theta }^{″}=-\frac{g}{l}\sin \theta ,\theta \left(0\right)={\theta }_0,{\theta }^{\prime }\left(0\right)={\omega }_0$.

1. L'exprimer sous forme vectorielle d'ordre 1 et montrer qu'il a une unique solution maximale, $X:ℝ\to {ℝ}^2$.
2. Déterminer les solutions stationnaires.
3. On considère $ℰ:{ℝ}^2\to ℝ,\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mapsto \frac{y^2}{2}-\frac{g}{l}\cos x$. Montrer que $ℰ\circ X$ est constante.
4. On suppose dans la suite ${\omega }_0>0$ et ${\theta }_0=0$, donc $ℰ\circ X={ℰ}_0:=\frac{{\omega }_0^2}{2}-\frac{g}{l}>-\frac{g}{l}$.

   

   1. Montrer que $\theta$ est impaire.
   2. Montrer que si ${ℰ}_0>\frac{g}{l}$, il existe $T$ tel que $\mathrm{\forall }t\in ℝ\theta (t+T)=\theta \left(t\right)+2\pi$.
   3. Montrer que si ${ℰ}_0<\frac{g}{l}$, la solution est périodique.
   4. Décrire la solution si ${ℰ}_0=\frac{g}{l}$.

Exercice 14

Soient $f:ℝ\to ℝ$ une fonction continue impaire et $y_0\in ℝ$. On considère le problème de Cauchy

$y^{\prime }(t)=\sin (f(t)y(t)),y\left(0\right)=y_0$.

1. Justifier que ce problème a une unique solution maximale, qu'on note encore $y$.
2. Montrer que $y$ est définie sur $ℝ$.
3. Montrer que si $y$ s'annule en un point alors elle est partout nulle. En déduire que $y$ est de signe constant.
4. Montrer que $t\mapsto y(-t)$ est encore solution. En déduire que $y$ est paire.

Exercice 15

Soit $x_0\in ℝ$. On considère le problème de Cauchy $u^{\prime }(t)=\cos (u(t{)}^2),u(0)=x_0$.

1. Montrer que ce problème a une solution maximale, définie sur un intervalle ouvert $]T_{*}(x_0),T^{*}(x_0)[$.
2. Déterminer les points d'équilibre du problème, c'est-à-dire tous les points $x\in ℝ$ tels que $\cos \left(x^2\right)=0$.
3. Étudier la solution du problème de Cauchy $u^{\prime }(t)=\cos (u(t{)}^2),u(0)=1$ :
   • Montrer que $u$ est bornée sur $]T_{*}(1),T^{*}(1)[$ ; en déduire que $T^{*}(1)=+\mathrm{\infty }$ ;
   • Est-elle monotone ? a-t-elle une limite quand $t\to +\mathrm{\infty }$ ? et si oui, laquelle ? ou alors est-elle oscillante comme $\cos$ ?