Calcul différentiel/Équations différentielles

Généralités

Soit E un espace vectoriel normé. Une équation différentielle (E.D.) d'ordre n à valeurs dans E sous « forme implicite » est une équation de la forme

$F(t,x,x^{\prime },\dots ,x^{\left(n\right)})=0$

où l'inconnue $x$ est une fonction (de la variable réelle) à valeurs dans E et la donnée F est une fonction continue sur un ouvert de ℝ × EModèle:Exp.

En restreignant cet ouvert, on met l'équation sous « forme résolue » :

$x^{\left(n\right)}=f(t,x,x^{\prime },\dots ,x^{(n-1)})$.

Elle est dite linéaire si de plus, $f$ est de la forme $(t,x_0,x_1,\dots ,x_{n-1})\mapsto A\left(t\right)(x_0,x_1,\dots ,x_{n-1})+B\left(t\right)$ où, pour tout $t$, l'application (continue) $A\left(t\right)$ est linéaire.

Par ailleurs, on peut transformer une E.D. d'ordre n sous forme implicite (resp. résolue, resp. linéaire) à valeurs dans E en une E.D. d'ordre 1 sous forme implicite (resp. résolue, resp. linéaire) à valeurs dans EModèle:Exp, en posant $y=(x,x^{\prime },\dots ,x^{(n-1)})$.

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Remarque

L'application $f$ étant supposée localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable, il suffit, pour qu'elle soit continue, qu'elle le soit par rapport à sa première variable : c'est un exercice de topologie générale.

Théorème de Cauchy-Lipschitz global

On suppose ici que l'ouvert $\mathrm{\Omega }$ est de la forme $I\times E$, où $I$ est un intervalle ouvert de $ℝ$. Toute solution globale (c'est-à-dire définie sur $I$ tout entier) de $x^{\prime }=f(t,x)$ est évidemment maximale, mais la réciproque est fausse en général, comme le montre l'exemple de l'équation $x^{\prime }=x^2$. Divers [[../Exercices/Équations différentielles non linéaires#Exercice 2|théorèmes « d'échappement » ou « d'explosion »]], parfois joints au [[../Exercices/Équations différentielles non linéaires#Exercice 8|lemme de Grönwall]], donnent des conditions suffisantes pour une telle réciproque, mais l'énoncé suivant, qui nous suffira par exemple dans la théorie des équations différentielles linéaires, se démontre directement : Modèle:Théorème

Dépendance des conditions initiales

Dans toute cette section, on reprend les hypothèses plus générales des sections « Théorème de Cauchy-Lipschitz local » et « Solution maximale » :

$E$ est un espace de Banach, $\mathrm{\Omega }$ un ouvert de $ℝ\times E$ et $f:\mathrm{\Omega }\to E$ une fonction continue et (au moins) localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable.

Remarque

Par rapport à sa première variable, le flot est [[../Exercices/Équations différentielles non linéaires#Exercice 5|de classe CModèle:Exp]] dès que $f$ est de classe CModèle:Exp.

Remarque sur les équations à paramètre

(Cette remarque sera utile pour le théorème de régularité locale ci-dessous)

Si $\mathrm{\Lambda }$ est un espace topologique, $\mathrm{\Omega }$ un ouvert de $ℝ\times \mathrm{\Lambda }\times E$ et $f:\mathrm{\Omega }\to E$ une application continue et localement lipschitzienne par rapport à sa dernière variable, on démontre exactement de la même façon que pour tout $(t_0,{\lambda }_0,x_0)\in \mathrm{\Omega }$, le flot correspondant est défini et continu au voisinage de $(t_0,t_0,{\lambda }_0,x_0)$.

Lorsque $f$ est un peu plus régulière, on obtient pour le flot un théorème de régularité locale puis, un corollaire global s'en déduit exactement de la même façon que le théorème de continuité ci-dessus se déduisait du lemme. Plus précisément :

Équations différentielles linéaires

Modèle:Wikipédia D'après ce qui précède, on peut se contenter d'étudier les E.D. linéaires d'ordre 1, et l'on a : Modèle:Corollaire

Modèle:Définition L'ensemble de ses solutions est donc $S_0$.

Sous les mêmes hypothèses, on peut alors énoncer : Modèle:Proposition

Pour chaque réel $t_0\in I$, on a un isomorphisme $S_0\to E,x\mapsto x\left(t_0\right)$, et donc un isomorphisme réciproque. Par composition, on peut donc définir une application à valeurs dans le groupe $𝒢ℒ\left(E\right)$ des éléments bijectifs de $ℒ\left(E\right)$ : Modèle:Définition

En particulier, $t\mapsto R(t,t_0)$ est la solution du problème de Cauchy (à valeurs dans $ℒ\left(E\right)$) $X^{\prime }\left(t\right)=a\left(t\right)\circ X\left(t\right),X\left(t_0\right)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.