Arithmétique/Devoir/Nombres polymonadiques

Un nombre polymonadique est un nombre qui ne s'écrit qu'avec des 1, comme 1, 11, 111, 1111, 11111, etc.

Une définition équivalente est de dire qu'un nombre polymonadique est un nombre de la forme $\frac{10^n-1}{9}$, avec n entier naturel, n ⩾ 1, le nombre n indiquant le nombre de chiffres 1 pour écrire ce nombre dans le système décimal.

On pose :

$e_n=\frac{10^n-1}{9}$.

On s'intéresse au problème suivant : existe-t-il des nombres polymonadiques premiers ?

1°  Démontrer que lorsque n est pair, eModèle:Ind est divisible par 11.

2°  Démontrer que lorsque m divise n, eModèle:Ind divise eModèle:Ind.

Aide : vous pouvez utiliser l'expression d'une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison b ≠ 1 :

$\sum _{i=0}^{r-1}{b}^i=\frac{b^r-1}{b-1}$.

3°  Déduisez-en que si eModèle:Ind est premier, alors n est premier. Montrer que la réciproque est fausse en examinant le cas de eModèle:Ind.

4°  a)  À l'aide de l'identité pour m ⩾ n :

$b^m-1=b^{m-n}(b^n-1)+b^{m-n}-1$,

démontrer que les diviseurs communs à eModèle:Ind et eModèle:Ind sont les diviseurs communs à eModèle:Ind et eModèle:Ind.

b)  En déduire que $\mathrm{pgcd}(e_m,e_n)=e_{\mathrm{pgcd}(m,n)}$ (en particulier, si m et n sont premiers entre eux, alors eModèle:Ind et eModèle:Ind sont premiers entre eux).