Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence

Exercice 1

Déterminer si les suites $(u_n)$ suivantes ont une limite (finie ou infinie). Si oui, la caluler.

1. $u_n=\frac{(-1{)}^n}{n}.$
2. $u_n=\frac{1+(-1{)}^n}{n}.$
3. $u_n=\cos (\pi n).$
4. $u_n=\sin (\pi n).$
5. $u_n=\frac{n^3}{n^2+1}$

Exercice 2

Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (justifier).

1. Si une suite positive est non majorée, elle tend vers l'infini.
2. Si une suite d'entiers converge, elle est stationnaire.
3. Si une suite positive tend vers $0$, elle est décroissante.
4. Si une suite positive tend vers $0$, elle est décroissante à partir d'un certain rang.
5. Si une suite n'est pas majorée, elle est minorée.
6. Si une suite est croissante et non bornée, elle tend vers l'infini.
7. Si $u_n\to 1$ alors ${u_n}^n\to 1$.

Exercice 3

Soit $a>0$. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=a$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+1}=\sqrt{\sum _{k=0}^n{u}_k}$.

1. Montrer que la suite est bien définie.
2. Montrer qu'elle est croissante à partir du rang 1.
3. En déduire sa limite.

Exercice 4

Soient $(u_n)$ une suite, et $\ell \in \overline{ℝ}=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$.

1. Montrer que si $u_{2k}\to \ell$ et $u_{2k+1}\to \ell$ alors $u_n\to \ell$.
2. Généralisation. — Soient $\left(u_n\right)$ une suite et $\left(u_{f\left(k\right)}\right),\left(u_{g\left(k\right)}\right),\dots ,\left(u_{h\left(k\right)}\right)$ une famille finie de $q$ sous-suites de même limite $\ell$, et dont la réunion des indices, $f\left(\mathbb{N}\right)\cup g\left(\mathbb{N}\right)\cup \dots \cup h\left(\mathbb{N}\right)$, est égale à $\mathbb{N}$. Montrer que $u_n\to \ell$.
3. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, on pose $u_n=1$ si $n$ est une puissance de $2$ et $u_n=0$ sinon. Soit ${\left(E_m\right)}_{m\in \mathbb{N}}$ la partition de l'ensemble ${\mathbb{N}}^{*}$ des indices définie par : $E_m$ est l'ensemble (infini) des entiers $n$ de la forme $2^m$ multiplié par un entier impair. Montrer que pour tout $m\in \mathbb{N}$, la sous-suite ${\left(u_n\right)}_{n\in E_m}$ converge vers 0, mais que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ n'a pas de limite.

Exercice 5

Soient $a\in {ℝ}^{*}$ et $\left(P_n\right)$ la suite définie par : $P_n=\prod _{k=1}^n\cos \frac{a}{2^k}$ (avec la convention du produit vide : $P_0=1$).

1. Calculer $P_n\sin \frac{a}{2^n}$ en utilisant la formule du sinus de l'angle double : $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
2. En déduire $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n$.

Exercice 6 : convergence au sens de Cesàro

Soit $(u_n)$ une suite numérique. On considère la suite $(v_n)$, appelée suite des moyennes de Cesàro, définie par :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{v}_n=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{u}_k$.

On dit que $(u_n)$ converge au sens de Cesàro si la suite $(v_n)$ converge.

1. Montrer que si $(u_n)$ converge (au sens usuel) vers une limite $\ell$ alors elle converge au sens de Cesàro vers $\ell$.
2. Montrer, à l'aide d'un contre-exemple, que la réciproque est fausse.
3. Montrer que si $(u_n)$ est monotone alors $(v_n)$ aussi.

Exercice 7

Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que

$\frac{\ln a_n}{n}\to a$ et $\frac{\ln b_n}{n}\to b$.

Démontrer que $\frac{\ln (a_n+b_n)}{n}\to \max (a,b)$. Modèle:Solution

Exercice 8

(Théorème de Herschfeld)

Pour tous réels $s_i\ge 1$ tels que la série $\sum _{n\ge 1}\prod _{1\le i\le n}\frac{1}{s_i}$ converge et pour tous réels positifs $a_i$, montrer que

le radical imbriqué $\sqrt[s_1]{a_1+\sqrt[s_2]{a_2+\sqrt[s_3]{a_3+\cdots }}}$ converge si et seulement si la suite $\left(\sqrt[s_1\dots s_n]{a_n}\right)$ est majorée. Modèle:Solution

Exercice 9

Étudier la convergence des suites

$n\sum _{k=1}^{2n+1}\frac{1}{n^2+k}$ et $\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \frac{1}{\sqrt{n+k}}$.

Exercice 10

Soient $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ deux suites. On s'intéresse au comportement de la suite $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{w}_n=\max (u_n,v_n)$.

1. Donner un exemple de deux suites $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ n'ayant pas de limite et telles que $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge.
2. Montrer que si $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ tendent respectivement vers $\ell$ et ${\ell }^{\prime }$ (finies ou infinies) alors $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers $\max (\ell ,{\ell }^{\prime })$ (on distinguera les deux cas $\ell ={\ell }^{\prime }$ et $\ell >{\ell }^{\prime }$ — le cas restant, ${\ell }^{\prime }>\ell$, est analogue).

Exercice 11

Soit $f:ℝ\to ℝ$ continue en $0$ et telle que $\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*}f(x)+f(2x)=0$. Démontrer que $f=0$. Modèle:Solution

Exercice 12

Étudier la suite récurrente suivante : $u_0\ge 0$ et $u_{n+1}=1+\frac{u_n^2}{4}$. Modèle:Solution

Exercice 13

On rappelle (cf. Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités#Exercice 2-1) que pour tout $x>0$,

$x-\frac{x^2}{2}<\ln (1+x)<x$.

En déduire la limite de la suite

$p_n:=\prod _{k=0}^n(1+\frac{k}{n^2})$.