Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités

Exercice 2-1

Montrer les inégalités suivantes.

1. $\mathrm{\forall }x\in ]-1,0[\cup ]0,+\mathrm{\infty }[\ln (1+x)<x$.

2. $\mathrm{\forall }x\in ]-1,0[\cup ]0,+\mathrm{\infty }[{\mathrm{e}}^{\frac{x}{1+x}}<1+x<{\mathrm{e}}^x$.

3. $\mathrm{\forall }x>00<\mathrm{e}-{(1+x)}^{1/x}<\frac{\mathrm{e}}{1+2/x}$.

4. $\mathrm{\forall }b>a>0\frac{b-a}{b}<\ln b-\ln a<\frac{b-a}{a}$.

5. $\mathrm{\forall }a<b<0{\mathrm{e}}^b-{\mathrm{e}}^a<b-a$.

6. $\mathrm{\forall }a>0\mathrm{\forall }b\in ℝab\le a\ln a+{\mathrm{e}}^{b-1}$.

7. $\mathrm{\forall }x,y>0x^y+y^x>1$.

8. Pour tout réel

$a\in ]0,1]$

et

$x\ge y\ge 0$

,

$0\le x^a-y^a\le (x-y{)}^a$.

9. $\mathrm{\forall }x>0\ln (1+x)>x-\frac{x^2}{2}$. Modèle:Solution

10. $\mathrm{\forall }a,b\in ℝ|\cos a-\cos b|\le |a-b|$ et $|\sin a-\sin b|\le |a-b|$. Modèle:Solution

Exercice 2-2

Établir, pour tout $x>0$, les inégalités :

1. $\frac{x^n}{n!}<{\mathrm{e}}^x-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}<\frac{x^n}{n!}{\mathrm{e}}^x$ ;
2. $\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{3}{8\sqrt{x+1}}<(x+1{)}^{3/2}-x^{3/2}<\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{3}{8\sqrt{x}}$ ;
3. $-\frac{1}{9\sqrt[3]{x^5}}<\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{x}-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}<-\frac{1}{9\sqrt[3]{(1+x{)}^5}}$ ;
4. $x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x$.

Exercice 2-3

1. Démontrer que pour tout réel $x$,

   $|\cos x-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4!}|\le \frac{x^6}{6!}$.

2. En utilisant l'estimation grossière $\frac{\pi }{12}\le \frac{3}{10}$, donner une approximation de $\cos \frac{\pi }{12}$ à $10^{-5}$ près.

Exercice 2-4

Soit $f:{ℝ}_{+}\to ℝ$ dérivable et telle que $f^{\prime }$ soit strictement décroissante.

1. Soit $a\ge 1$. Montrer que $f(a)-f(a-1)>f^{\prime }(a)>f(a+1)-f(a)$.
2. Si $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }f=L\in ℝ$, déterminer $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }{f}^{\prime }(x)$.

Exercice 2-5

Soient $a<b$ deux éléments de $[0,\pi /2]$.

1. Montrer que $\cos b<\frac{\sin b-\sin a}{b-a}<\cos a$.
2. On note $f_{a,b}$ l'application définie sur $[0,1]$ par $f_{a,b}(t)=\sin (ta+(1-t)b)-t\sin a-(1-t)\sin b$. Calculer $f_{a^{″},b}$.
3. En déduire qu'il existe un unique point $c\in ]0,1[$ tel que $f_{a^{\prime },b}(c)=0$, et faire le tableau de variations de $f_{a,b}$.
4. En utilisant le tableau de variations de $f_{0,\pi /2}$, montrer que $\mathrm{\forall }x\in [0,\pi /2]\sin x\ge \frac{2x}{\pi }$.