Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente

Exercice 1

Étudier, en fonction du paramètre réel $a$, la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par :

$\{\begin{array}{c}{u}_0=a\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+1}=u_n{\mathrm{e}}^{u_n}.\end{array}$

Modèle:Solution En déduire, en fonction du paramètre réel $b$, le comportement de la suite ${\left(v_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par :

$\{\begin{array}{c}{v}_0=b\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{v}_{n+1}=v_n{\mathrm{e}}^{-v_n}.\end{array}$

Modèle:Solution On pose $w_n=\sum _{k=0}^n{v}_n$.

1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=b{\mathrm{e}}^{-w_n}$.
2. En déduire la limite de la suite $(w_n)$.

Exercice 2

Soit $a\ge 1,01$. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=a$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+1}=u_n^3-\frac{\arctan u_n}{100}$. Modèle:Solution

Exercice 3

1. Soient $b>0$ et $a\ge -b$. Étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=a$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+1}=\sqrt{b+u_n}$.

2. Soient $r,s>0$ ; qu'en déduit-on pour une suite $\left(v_n\right)$ vérifiant $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{v}_{n+1}=\sqrt{r+s{v}_n}$ ?

3. Et pour une suite $\left(w_n\right)$ vérifiant $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{w}_{n+1}=r+s\sqrt{w_n}$ ? Modèle:Solution

3. Soient $b>1$ et $b-b^2\le a\le b$. Étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=a$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+1}=\sqrt{b-u_n}$.

Indication : on pourra montrer que $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}|u_{n+1}-u_n|\le \frac{|u_n-u_{n-1}|}{\sqrt{b}}$.

4. Soient $s>0$ et $r>s^2$ ; qu'en déduit-on pour une suite $\left(v_n\right)$ vérifiant $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{v}_{n+1}=\sqrt{r-s{v}_n}$ ?

Exercice 4

Soient $a,b\in ℝ$ et $p\ge 3$ un entier naturel impair. On suppose $b>\frac{p-1}{p^{\frac{p}{p-1}}}$ et l'on définit la suite $(u_n)$ par :

$u_0=a$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+1}=\sqrt[p]{u_n+b}$.

1. Montrer que la fonction $f:ℝ\to ℝ,x\mapsto \sqrt[p]{x+b}$ est monotone.
2. Étudier les variations de la fonction $\phi :ℝ\to ℝ,x\mapsto x+b-x^p$, puis son signe. En déduire que $f$ a un unique point fixe $\ell$, et préciser le signe de $f(x)-x$ selon la position de $x$ par rapport à $\ell$.
3. Déduire de la question 1 que $f(x)$ est du même côté de $\ell$ que $x$.
4. En déduire le comportement de la suite $(u_n)$, selon la position de $a$ par rapport à $\ell$.

Exercice 5

Soient $a,b\in ℝ$. On se propose d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=a$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+1}=\sqrt[3]{b+u_n}$. Le cas $b=0$ étant immédiat et le cas $b<0$ se ramenant facilement au cas $b>0$ (en remplaçant $a,b,u_n$ par leurs opposés), on se limitera au cas $b>0$.

Étudier la suite $\left(u_n\right)$ en distinguant trois cas : $b>\frac{2}{3\sqrt{3}}$, $0<b<\frac{2}{3\sqrt{3}}$ et $b=\frac{2}{3\sqrt{3}}$.

Indication : poser $f(x)=\sqrt[3]{b+x}$ et étudier les variations puis le signe de $\phi (x):={(f(x))}^3-x^3$. Modèle:Solution Modèle:Solution Modèle:Solution Soient $r,s>0$ ; qu'en déduit-on pour une suite $\left(v_n\right)$ vérifiant : $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{v}_{n+1}=\sqrt[3]{r+s{v}_n}$ ? Modèle:Solution

Exercice 6

1. Soient $b>1$ et $a\in [b-b^3,b]$. Étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=a$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+1}=\sqrt[3]{b-u_n}$.

Indication : on pourra s'inspirer de la question 3 de l'exercice 3 ci-dessus.

2. Soient $s>0$ et $r>s^2$ ; qu'en déduit-on pour une suite $\left(v_n\right)$ vérifiant : $\frac{r}{s}-\frac{r^3}{s^4}\le v_0\le \frac{r}{s}$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{v}_{n+1}=\sqrt[3]{r-s{v}_n}$ ? Modèle:Solution

Exercice 7

Soit $a\in ]0,\pi [$.

1. Étudier la suite des sinus itérés de $a$, définie par $u_0=a,u_{n+1}=\sin u_n$.
2. Montrer que la suite $(\frac{1}{u_{n+1}^2}-\frac{1}{u_n^2})$ converge et donner sa limite.

Exercice 8

Soient $f:ℝ\to ℝ,x\mapsto \frac{1-x^2}{4}$ et $a\in [0,1]=I$. Considérons la suite définie par récurrence par $u_0=a$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+1}=f(u_n)$.

1. Préciser les variations de $f$ sur $I$ et en déduire que $f(I)\subset I$.
2. Montrer que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}0\le u_n\le 1$.
3. Établir que $f$ n'a dans $I$ qu'un point fixe, qui sera noté $\ell$.
4. Montrer que pour tout $x\in I$, $|f(x)-\ell |\le \frac{|x-\ell |}{2}$.
5. En déduire que $|u_n-\ell |\le \frac{|u_0-\ell |}{2^n}$. Conclure.

Exercice 9

Considérons la fonction $f:]0,+\mathrm{\infty }[\to ]0,+\mathrm{\infty }[$ définie par

$f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{5}{x})$.

et la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par récurrence par

$u_0=a$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+1}=f(u_n)$,

pour un $a\in ]0,+\mathrm{\infty }[$ fixé arbitrairement.

1. Démontrer que $f$ a un seul point fixe $\ell$ et le déterminer.
2. Démontrer que l'image de $f$ est $[\ell ,+\mathrm{\infty }[$.
3. Montrer que sur cet intervalle, $f(x)\le x$.
4. Qu'en déduit-on sur la suite $(u_n)$ ?
5. Démontrer que pour tout $x\ge \ell$, $f(x)-\ell \le \frac{x-\ell }{2}$.
6. En déduire que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, $u_n-\ell \le \frac{u_1-\ell }{2^{n-1}}$.

Exercice 10

Soit un réel $\alpha >-1$. Étudier, en fonction de $\alpha$, la suite $(u_n)$ définie par :

$u_0=\alpha$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+1}=\ln (u_n+2)$.

Exercice 11

Soit la suite $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $x_0=4$ et $x_{n+1}=\frac{2x_n^2-3}{x_n+2}$ ($\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$).

1. Démontrer que ($\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$) $x_n>3$ et $x_{n+1}-3>\frac{9}{5}(x_n-3)>0$.
2. Quelle est la limite de cette suite ?

Exercice 12

Soit $f:ℝ\to ℝ$ une fonction dérivable. Fixons un réel $a$ tel que $f(a)\ne a$ et considérons la suite $u$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$, $u_0=a$.

1. On suppose que $f^{\prime }(x)\ge 1$ pour tout $x$. Montrer que $u_n\to +\mathrm{\infty }$ si $f(a)>a$ et $u_n\to -\mathrm{\infty }$ si $f(a)<a$.
   Indication : prouver d'abord les inégalités $u_{n+1}-u_n\ge u_1-u_0$ si $f(a)>a$ et $u_{n+1}-u_n\le u_1-u_0$ si $f(a)<a$.
2. On suppose maintenant que pour tout $x$, $|f^{\prime }(x)|\le \frac{1}{2}$ et $f(3)=3$. Montrer que la suite $u$ converge.

Exercice 13

Soient $a\in [-1,1]$ et $b\in [0,1]$.

1. Étudier la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_{n+1}=a{u}_n^2+(1-a)u_n$ et $u_0=b$.
2. Quelles sont les suites $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ dont l'étude se ramène à celle de $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par homothétie-translation ?

Soient $a\in ℝ$ et $(u_n)$ la suite définie par $u_0=a$ et $u_{n+1}=\frac{u_n^2+u_n}{2}(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})$. Étudier, en fonction de $a$, l'existence et la valeur de $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n$. Modèle:Solution