Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur la résolution d'équation

Exercice 6-1

Résoudre dans $ℂ$ :

1°  $z^2-(5+3\mathrm{i})z+4+7\mathrm{i}=0$ ;

2°  $z^2-(5-9\mathrm{i})z-14-23\mathrm{i}=0$ ;

3°  $(4-3\mathrm{i})z^2-(10+5\mathrm{i})z+3+5\mathrm{i}=0$ ;

4°  $z^2-(3+2\mathrm{i})z+5+\mathrm{i}=0$ ;

5°  $z^2-(1+2\mathrm{i})z+3(1+\mathrm{i})=0$ ;

6°  $z^2-(a+\mathrm{i}b)z+\mathrm{i}ab=0$ ;

7°  $z^2-2az+a^2+b^2=0$ ;

8°  $z^2+(5+4\mathrm{i})z+3+11\mathrm{i}=0$ ;

9°  $z^2+4(1+\mathrm{i})z+10\mathrm{i}=0$ ;

10°  $z^2-z\sqrt{3}-\mathrm{i}=0$. Modèle:Solution

Exercice 6-2

Résoudre dans $ℂ$ :

1°  $z^4+z^2+1=0$ ;

2°  $(z+1{)}^2+\mathrm{i}(z+2{)}^2=0$ ;

3°  $(z-\mathrm{i}{)}^3=\mathrm{i}(z+\mathrm{i}{)}^3$ ;

4°  $(z+1{)}^2+\mathrm{i}(z^2+z{)}^2=0$ ;

5°  $z^4-(5-14\mathrm{i})z^2-2(12+5\mathrm{i})=0$ ;

6°  $z^4-(7+22\mathrm{i})z^2+48-14\mathrm{i}=0$. Modèle:Solution

Exercice 6-3

Dans le corps des nombres complexes, résoudre l'équation :

$\mathrm{i}{z}^2-2\overline{z}+2-\mathrm{i}=0$

où $z$ est l'inconnue et $\overline{z}$ le complexe conjugué. Modèle:Solution

Exercice 6-4

On considère l'équation du second degré :

$z^2+2(1-\cos u)z+2(1-\cos u)=0$,

$u$ étant un paramètre réel appartenant à l'intervalle $[0,\pi ]$.

1°  Résoudre cette équation dans $ℂ$. On notera $z_1$ et $z_{-1}$ les solutions.

2°  Déterminer le module et l'argument de $z_1$ et $z_{-1}$. Modèle:Solution

Exercice 6-5

Résoudre les équations suivantes :

1°  $z^3-\mathrm{i}=0$ ;

2°  $z^3-\mathrm{i}=6(z+\mathrm{i})$. Modèle:Solution

Exercice 6-6

Résoudre dans $ℂ$ :

$z^6-(1-\mathrm{i})z^3-\mathrm{i}=0$.

Exercice 6-7

Soit le polynôme $P(z)=z^3-4z+\lambda$, où $z$ désigne un nombre complexe et où $\lambda$ est un nombre réel.

1°  Montrer que si $P(z)=0$ admet une solution complexe $z_0$, alors ${\overline{z}}_0$ est aussi solution.

En déduire que l'équation $P(z)=0$ admet au moins une solution réelle, sans chercher à résoudre l'équation.

2°  Déterminer $\lambda$ pour que le polynôme $P(z)$ admette une racine réelle de module $2$.

Résoudre l'équation pour la valeur de $\lambda$ ainsi trouvée.

3°  Déterminer $\lambda$ pour que le polynôme $P(z)$ admette une racine non réelle de module $2$.

Résoudre l'équation pour chaque valeur de $\lambda$ ainsi trouvée et préciser le module et l'argument de chaque solution.

Voir aussi Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la résolution d'équation.