Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la résolution d'équation

Exercice 4-1

Résoudre les équations :

• $z^2-(3+\mathrm{i})z+2(1+\mathrm{i})=0$ ;
• $z^4-(3+\mathrm{i})z^2+2(1+\mathrm{i})=0$.

Modèle:Solution Résoudre dans $ℂ$, en donnant la forme cartésienne et la forme polaire des solutions :

1. $z^2+(8-\mathrm{i})z-8\mathrm{i}=0$ (indication : $\sqrt{63^2+16^2}=65$) ;
2. $Z^6+(8-\mathrm{i})Z^3-8\mathrm{i}=0$.

Exercice 4-2

1. Résoudre les équations :
   • $z^2+4z+1+(3z+5)\mathrm{i}=0$ ;
   • ${(z^2+4z+1)}^2+{(3z+5)}^2=0$.
2. En déduire $a,b,c,d$ réels tels que :

   ${(z^2+4z+1)}^2+{(3z+5)}^2=(z^2+az+b)(z^2+cz+d)$.

Exercice 4-3

Résoudre les équations :

• $z^2-2z\sin \theta +{\tan }^2\theta -\frac{\pi }{2}<\theta <+\frac{\pi }{2}$ ;
• $z^4-2z^2\sin \theta +{\tan }^2\theta$.

Exercice 4-4

Résoudre l'équation :

$z^6+(1-2\mathrm{i}\sqrt{2})z^3-2\mathrm{i}\sqrt{2}=0$.

Exercice 4-5

Résoudre les équations :

• $z^2-2\overline{z}+1=0$ ;
• $z+3\overline{z}=(2+\mathrm{i}\sqrt{3})|z|$.

Exercice 4-6

Résoudre l'équation :

$8z^4+8z^3-z-1=0$.

Exercice 4-7

Démontrez que l'équation suivante admet une racine réelle puis la résoudre :

$z^3-(3+2\mathrm{i})z^2+(3+11\mathrm{i})z-2(1+7\mathrm{i})=0$.

Exercice 4-8

Quelle est la condition nécessaire et suffisante sur $\alpha ,\beta ,\gamma \in ℂ$ pour que le triangle des images des solutions de

$z^3+\alpha z^2+\beta z+\gamma =0$

soit équilatéral ? Modèle:Solution

Exercice 4-9

Soit l'équation :

$z^3-(2+3\mathrm{i})z^2-(3-5\mathrm{i})z+2(3+\mathrm{i})=0$.

Démontrez que le triangle des images est rectangle isocèle. Modèle:Solution

Exercice 4-10

Pour $a\in {ℂ}^{*}$, soit :

$P_a(z)=z^3-6a{z}^2+12a^{2}z-7a^3$.

1°  Vérifier que $P_1(1)=0$. Résoudre dans $ℂ$ : $P_1(z)=0$.

2°  Soit $Z=\frac{z}{a}$. Résoudre dans $ℂ$ : $P_a(z)=0$.

3°  Démontrez que $T_a$ est équilatéral. Modèle:Solution

Exercice 4-11

Soit, dans $ℂ$, les équations :

(1)  $z^6-9\mathrm{i}{z}^3+18-26\mathrm{i}=0$ ;

(2)  $Z^3-1=0$.

1°  Vérifiez que $2+\mathrm{i}$ et $1-\mathrm{i}$ sont solutions de (1).

2°  Résoudre (2).

3°  Démontrez que si $z_0$ est solution de (1) et $Z_0$ est solution de (2), alors $z_0{Z}_0$ est solution de (1).

4°  Résoudre (1). Modèle:Solution