Espace préhilbertien complexe/Espaces hermitiens

On suppose dans ce chapitre que E un espace hermitien de dimension n, non réduit à {0}.

Écriture matricielle

On munit E d'une base orthonormée $ℬ=(e_1,\cdots ,e_n)$

Écriture vectorielle du produit scalaire

Soit $(x,y)\in E^2$.

Il existe des coordonnées pour x et y dans la base $ℬ$ :

$x=\sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i$ et $y=\sum _{i=1}^n{y}_i{e}_i$

On pose les vecteurs $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ et $Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$

Matrice d'une forme hermitienne

Soient :

• $f\in 𝒮\mathscr{H}(E)$
• $\varphi$ la forme hermitienne associée à ƒ
• $x=\sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i$ et $y=\sum _{i=1}^n{y}_i{e}_i$ deux vecteurs de E

On a :

$f(x,y)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\overline{x_i}{y}_{j}f(e_i,e_j)$

On pose $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ et $Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$

Isomorphisme canonique avec le dual

→ Nous verrons en [[../Annexe/Application à la mécanique quantique|annexe]] l’intérêt de cet isomorphisme pour l’application à la mécanique quantique, à travers de la notation bra-ket.