Algèbre linéaire et calcul matriciel/Exercices/Formes linéaires et hyperplans

Exercice 1-1

Dans chacun des cas suivants, dire si l'ensemble $F$ est un hyperplan du $K$-espace vectoriel $E$ :

1. $n\in \mathbb{N},E=K_n[X],F=\{P\in E\mid P(3)=0\}$ ;
2. $n\in {\mathbb{N}}^{*},E=K_n[X],F=K_{n-1}[X]$ ;
3. $K=ℝ,E={ℂ}^2,F=\{(u,v)\in {ℂ}^2\mid \bar{u}=2v\}$ ;
4. $K=ℂ,E={ℂ}^2,F=\{(u,v)\in {ℂ}^2\mid \bar{u}=2v\}$ ;
5. $E={\mathrm{M}}_n(K),F=\{M\in E\mid \mathrm{Tr}(M)=1\}$ ;
6. $K=ℝ,E=C([0,1],ℝ),F=\{f\in E|\underset{0}{\overset{1}{\int }}f=0\}$ ;
7. $u\in E\setminus \{0\},F=\mathrm{Vect}(u)$.

Exercice 1-2

Soit $F=\{(x,y,z,t)\in {ℝ}^4\mid x+y-z-t=0\}$.

1. Justifier que $F$ est un hyperplan de ${ℝ}^4$. En déduire sa dimension.
2. En donner une base.
3. Donner toutes ses équations.
4. Donner tous ses supplémentaires dans ${ℝ}^4$.

Modèle:Solution Mêmes questions en remplaçant ${ℝ}^4$ par ${ℝ}_2[X]$ et $F$ par $G=\{P\in {ℝ}_2[X]\mid P(1)+P^{\prime }(0)=0\}$. Modèle:Solution

Exercice 1-3

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n\ge 1$ et $H_1,\dots ,H_p$ des hyperplans de $E$. On note $H=H_1\cap \dots \cap H_p$. Montrer que $\dim H\ge n-p$. Modèle:Solution En déduire que si $K=ℝ$ et si $(x,y)\mapsto \sum _{i=1}^r{\psi }_i(x){\psi }_i(y)$ est un produit scalaire sur $E$, alors la famille de formes linéaires $({\psi }_1,\dots ,{\psi }_r)$ engendre l'espace $E^{*}$ des formes linéaires sur $E$. Modèle:Solution