Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition polaire d'une matrice réelle

Décomposition polaire d'une matrice réelle

Soit $M\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)$. L'objet de ce devoir est de décomposer $M$ en produit d'une matrice orthogonale (unique si $M$ est inversible) et d'une matrice (symétrique) positive (toujours unique, et inversible si $M$ l'est).

1. Montrer que ${}^{t}MM$ est symétrique et positive.

   Elle admet donc une unique racine carrée symétrique positive, que l'on notera $S$.

2. Montrer que si $M=QT$ avec $Q$ orthogonale et $T$ symétrique positive, alors $T=S$.
3. Si $M$ (donc aussi $S$) est inversible, montrer que la matrice $Q:=M{S}^{-1}$ est orthogonale (ce qui conclut dans ce cas).
4. En déduire (par densité) la conclusion voulue sans supposer $M$ inversible.
5. Retrouver ce cas général en construisant directement (sans passer par le cas particulier inversible) une matrice orthogonale $Q$ telle que $M=QS$.

Autre point de vue et quelques compléments

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soient $h,p,w$ des endomorphismes de $E$ dont les matrices respectives, dans une certaine base orthonormée, sont les matrices $M,S,Q$ ci-dessus.

1. Vérifier que $\mathrm{\forall }x,y\in E⟨p(x),p(y)⟩=⟨h(x),h(y)⟩$ et $\Vert p(x)\Vert =\Vert h(x)\Vert$. En déduire que $\ker p=\ker h$.
2. En déduire qu'il existe une base orthonormée $(e_1,\dots ,e_n)$ de $E$ telle que $p(e_i)=\Vert h(e_i)\Vert e_i$.
3. On suppose dans cette question que $h$ est bijectif (donc $p$ aussi d'après 1).
   1. Déduire de l'exercice 1-3 de la leçon « Réduction des endomorphismes » que $w,p$ commutent si et seulement si $h,h^{*}$ commutent.
   2. Déduire de la question 2 une expression de $w(e_i)$ en fonction de $h(e_i)$.
   3. Application : soit $M=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 4& -2\\ 2& 1& 4& 2\\ -4& 2& 2& -1\\ -4& -2& 2& 1\end{array}\right)$. Calculer les deux matrices $S$ et $Q$.
4. On ne suppose plus que $h$ est bijectif, et l'on ordonne la base $(e_1,\dots ,e_n)$ de la question 2 de telle sorte que $h(e_1),\dots ,h(e_p)$ soient non nuls et $h(e_{p+1}),\dots ,h(e_n)$ soient nuls.
   1. Comment faut-il choisir $w(e_1),\dots ,w(e_n)$ pour définir un endomorphisme orthogonal $w$ tel que $h=w\circ p$ ? Un tel $w$ est-il unique ?
   2. Application : soit $M=\left(\begin{array}{ccc}4& -2& 4\\ 2& -1& 2\\ -4& 2& -4\end{array}\right)$. Trouver deux matrices $S$ symétrique et $Q$ orthogonale telles que $M=QS$.