Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition polaire d'une matrice complexe

Décomposition polaire d'une matrice complexe

Dans les questions 3 et 5, $\mathrm{j}$ désigne le nombre complexe $-\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$.

1°  Soient $K$ un corps, $E$ un $K$-espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie), $u$ et $v$ deux endomorphismes diagonalisables de $E$, et $P(X)\in K[X]$ un polynôme.

• Montrer que si la fonction polynomiale associée à $P$ est injective sur le spectre de $u$, alors $P(u)$ a mêmes sous-espaces propres que $u$, avec comme valeurs propres les images par $P$ de celles de $u$.
• En déduire que si $P$ est aussi injective sur le spectre de $v$ et si $P(u)=P(v)$, alors $u=v$.

2°  Soit H et H' deux matrices hermitiennes positives de M_n(ℂ). Déduire de la question 1 que :

• toute base de ℂⁿ formée de vecteurs propres de H² est une base de vecteurs propres de H ;
• si H² = H'², alors H = H'.

3°  Soit :

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 2\mathrm{j}& 0\\ 2{\mathrm{j}}^2& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Déterminer une matrice hermitienne positive H ∈ M₃(ℂ) telle que H² = M.

4°  Soit A une matrice de M_n(ℂ). Montrer que si :

${}^t\bar{A}A=D^2$

avec D matrice diagonale positive dans M_n(ℝ),

alors il existe U unitaire dans M_n(ℂ) telle que A = U.D.

5°  Soit A dans M_n(ℂ). En déduire qu’il existe une matrice hermitienne positive unique H et une matrice unitaire U de M_n(ℂ) telles que A = U.H.

U est-elle unique ?

Déterminer U et H dans le cas particulier où :

$A=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}-\mathrm{j}& -{\mathrm{j}}^2& \mathrm{j}\\ -1& -\mathrm{j}& 1\\ 2{\mathrm{j}}^2& 2& {\mathrm{j}}^2\end{array}\right)$

et dans le cas où :

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -2& -1& -1\\ -1& -1& -2\end{array}\right)$.

Modèle:Corrigé