Espace préhilbertien complexe/Exercices/Espaces hermitiens

Exercice 1-1

On pose $E={ℂ}^3$ et l'on définit $q:E\to ℂ$ par :

$q(x,y,z)=|x{|}^2+3|y{|}^2+6|z{|}^2+\mathrm{i}\bar{x}y-\mathrm{i}x\bar{y}+2\mathrm{i}y\bar{z}-2\mathrm{i}\bar{y}z$.

1. Démontrer qu'il existe une forme hermitienne $f:E\times E\to ℂ$ telle que pour tout $u\in E$, $f(u,u)=q(u)$.
2. Donner la matrice de $f$ dans la base canonique.
3. Déterminer une base orthonormale pour $f$.

Exercice 1-2

Déterminer le rang et la signature de la forme quadratique hermitienne q sur E dans les cas suivants :

1. $E={ℂ}^3$ et $q(x,y,z)=|x{|}^2+2|y^2|+|z{|}^2+\mathrm{i}\overline{x}y-\mathrm{i}x\overline{y}-\overline{x}z+x\overline{z}-2\mathrm{i}y\overline{z}+2\mathrm{i}\overline{y}z$ ;
2. $E={ℂ}^3$ et $q(x,y,z)=\overline{x}y+x\overline{y}-\mathrm{i}\overline{x}z+\mathrm{i}x\overline{z}+(1+\mathrm{i})y\overline{z}+(1-\mathrm{i})\overline{y}z$ ;
3. $E={\mathrm{M}}_n(ℂ)$ et $q(A)=\mathrm{Tr}({}^t\overline{A}A)$.

Exercice 1-3

Soit $E={ℂ}_n[X]$ le $ℂ$-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$.

1. Vérifier que $⟨P,Q⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\overline{P({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t})}Q({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t})\mathrm{d}t$ définit un produit scalaire hermitien sur $E$ et que la base $(1,X,\dots ,X^n)$ est orthonormée pour ce produit scalaire.
2. Soit $Q=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\dots +a_0\in E$ ; calculer $\Vert Q{\Vert }^2$.
3. On pose $M=\sup \{|Q(z)|\mid |z|=1\}$. Montrer que $M\ge 1$ et étudier les cas d'égalité.

Exercice 1-4

1. L'ensemble des matrices hermitiennes est-il un sous-$ℂ$-espace de ${\mathrm{M}}_n(ℂ)$ ?
2. Démontrer que c'en est un sous-$ℝ$-espace et calculer sa dimension.
3. Démontrer que l'ensemble des matrices $A$ antihermitiennes, c'est-à-dire vérifiant ${}^t\overline{A}=-A$, en est un supplémentaire.

Exercice 1-5

Soit $E$ un espace hermitien et $f$ un endomorphisme de $E$. On suppose que tout vecteur de $E$ est orthogonal à son image par $f$.

1. Démontrer que $⟨f(x),y⟩=0$ pour tous $x$ et $y$ de $E$.
2. En déduire que $f$ est l'endomorphisme nul.
3. Que penser de l'énoncé analogue sur un espace euclidien ?

Exercice 1-6

Dans ${ℂ}^3$ muni de sa structure hermitienne standard et de sa base canonique, on note $F$ le plan d'équation $x_1-x_2+\mathrm{i}{x}_3=0$.

1. Déterminer l'orthogonal de $F$.
2. Expliciter la matrice de la projection orthogonale sur $F$ dans la base canonique.
3. Trouver une base orthogonale de $F$.

Exercice 1-7

Pour une matrice complexe $A$, notons $A^{\ast }={}^t\overline{A}$.

1. Soit $A\in {\mathrm{GL}}_n(ℝ)$. Démontrer que $A^{\ast }A$ est la matrice d'un produit scalaire réel.
2. Que devient cet énoncé si $A\in {\mathrm{GL}}_n(ℂ)$ ?

Exercice 1-8

Soit $E$ un espace hermitien de dimension $n$.

1. Soit $f$ un endomorphisme hermitien de $E$.
   1. Montrer que les valeurs propres de $f$ sont réelles. On les notera dans la suite ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \dots \le {\lambda }_n$.
   2. Montrer que pour tout vecteur non nul $x$ de $E$, $\frac{⟨f(x),x⟩}{\Vert x{\Vert }^2}\le {\lambda }_n$.
   3. Trouver un $x\in E$ tel que l'inégalité ci-dessus soit une égalité.
2. Soit $f$ un endomorphisme quelconque de $E$.
   1. Montrer que pour tout $x\in E$, $⟨(f^{\ast }\circ f)(x),x⟩=\Vert f(x){\Vert }^2$.
   2. Montrer que l'endomorphisme $f^{\ast }\circ f$ de $E$ est hermitien positif. (Un endomorphisme hermitien est dit positif si toutes ses valeurs propres (réelles) sont positives.)
   3. En déduire que $\underset{x\in E,x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert f(x)\Vert }{\Vert x\Vert }=\max \{\sqrt{\lambda }\mid \lambda \in \mathrm{Spec}(f^{\ast }\circ f)\}$.
3. Application à $f$ endomorphisme de ${ℂ}^2$ dont la matrice dans la base canonique est $A:=\left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{i}\\ 2& 2\mathrm{i}\end{array}\right)$.

Exercice 1-9

Soit $U\in {\mathrm{M}}_2(ℂ)$ une matrice unitaire de déterminant $1$. Montrer qu'il existe $\alpha ,\beta \in ℂ$ tels que $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$ et $U=\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\overline{\beta }\\ \beta & \overline{\alpha }\end{array}\right)$. Modèle:Solution

Exercice 1-10

1. Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}4& \mathrm{i}& -\mathrm{i}\\ -\mathrm{i}& 4& 1\\ \mathrm{i}& 1& 4\end{array}\right)$. Trouver une matrice unitaire $U$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D=U^{-1}AU$.
2. Même question avec la matrice $B=\left(\begin{array}{ccc}1& \mathrm{i}& -\mathrm{i}\\ -\mathrm{i}& 1& -1\\ \mathrm{i}& -1& 1\end{array}\right)$.

Exercice 1-11

1. Soit $H\in {\mathrm{M}}_n(ℂ)$ une matrice hermitienne positive. Montrer qu'il existe une unique matrice hermitienne positive $R$ telle que $H=R^2$. On dit alors que $R$ est la racine carrée de $H$.
2. Soit $A\in {\mathrm{GL}}_n(ℂ)$. Montrer qu'il existe un unique couple de matrices $(U,H)$, avec $U$ unitaire et $H$ hermitienne positive, tel que $A=UH$ (on montrera que si un tel $(U,H)$ existe alors $H$ est la racine carrée de $A^{\ast }A$).

Exercice 1-12

Soient $E$ un espace hermitien et $f$ un endomorphisme normal de $E$ (c'est-à-dire $f^{\ast }\circ f=f\circ f^{\ast }$).

1. Montrer que $\Vert f(x)\Vert =\Vert f^{\ast }(x)\Vert$.
2. En déduire que $\ker f=\ker f^{\ast }$ et $\mathrm{im}f=\mathrm{im}{f}^{\ast }$.
3. Que dire alors de $\ker f$ et $\mathrm{im}f$ ? En déduire que $\ker f=\ker f^2$.
4. Si $g$ est un autre endomorphisme normal de $E$, montrer que $f\circ g=0$ si et seulement si $g\circ f=0$.

Exercice 1-13

Soit $M\in {\mathrm{M}}_n(ℂ)$.

1. Montrer qu'il existe un unique couple $(H,H^{\prime })$ de matrices hermitiennes tel que $M=H+\mathrm{i}{H}^{\prime }$.
2. Montrer que $M$ est normale si et seulement si $H{H}^{\prime }=H^{\prime }H$.

Exercice 1-14

1. Trouver toutes les matrices réelles normales de taille 2.
2. Dans ${\mathrm{M}}_n(ℝ)$, quel sous-espace vectoriel les matrices normales engendrent-elles ?

Exercice 1-15

Soient $E$ un espace hermitien de dimension finie et $f,g,h,u$ des endomorphismes de $E$.

1. Pour tous polynômes $P,Q\in ℂ[X]$ tels que $Q(f)$ soit inversible, montrer que $P(f)Q(f{)}^{-1}=Q(f{)}^{-1}P(f)$.
   Ceci justifie la notation $R(f):=\frac{P(f)}{Q(f)}$ pour cet endomorphisme.
   Exprimer alors les valeurs propres de $R(f)$ en fonction de celles de $f$.
2. Soit $\alpha \in C$. Montrer que si $f-\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}$ est inversible et $g=\frac{f+\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}}{f-\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}}$ alors $\mathrm{i}\mathrm{d}-g$ est inversible et $f=-\alpha \frac{\mathrm{i}\mathrm{d}+g}{\mathrm{i}\mathrm{d}-g}$.
   En déduire que $[h+\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{d}$ est inversible et $u=\frac{h-\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{d}}{h+\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{d}}]\iff [\mathrm{i}\mathrm{d}-u$ est inversible et $h=i\frac{\mathrm{i}\mathrm{d}+u}{\mathrm{i}\mathrm{d}-u}]$.
3. Pour $h,u$ vérifiant les propriétés équivalentes de ci-dessus, montrer que les valeurs propres de $h$ sont réelles si et seulement si celles de $u$ sont de module 1.
4. Pour $h,u$ vérifiant encore les propriétés équivalentes ci-dessus, montrer que $h$ est autoadjoint si et seulement si $u$ est unitaire.
5. Montrer que si $h$ est autoadjoint alors $h+\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{d}$ est inversible.

Exercice 1-16

Soient $A=(a_{i,j})\in M_n(ℂ)$, $P=(\mathrm{R}\mathrm{e}(a_{i,j}))$ et $Q=(\mathrm{I}\mathrm{m}(a_{i,j}))$. Soit $B=\left(\begin{array}{cc}P& -Q\\ Q& P\end{array}\right)\in M_{2n}(ℝ)$.

1. Montrer que $A$ est hermitienne si et seulement si $B$ est symétrique, et que dans ce cas, $A$ est positive si et seulement si $B$ l'est et définie si et seulement si $B$ l'est.
2. Montrer que $A$ est unitaire si et seulement si $B$ est orthogonale.

Exercice 1-17

Soit $H={ℂ}_2[X]$ (l'espace des polynômes à coefficients complexes de degré $\le 2$). On définit sur $H$ le produit hermitien $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ suivant : pour $P,Q\in H$, avec $P(X)=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2$ et $Q(X)=b_0+b_{1}X+b_2{X}^2$ : $⟨P,Q⟩=\sum _{k=0}^2\overline{a_k}{b}_k$. Pour tout $P\in H$, on pose $u(P)=P(\mathrm{i}X)$ et $v(P)(X)=(X+\mathrm{i})P^{\prime }\left(\frac{X-\mathrm{i}}{2}\right)$.

1. Donnez, pour $Q\in H$, l'expression de $u^{\ast }(Q)$ et vérifiez que $u$ est unitaire.
2. Déterminez $v^{\ast }$ (par exemple en donnant sa matrice dans la base canonique $(1,X,X^2)$ de $H$).
3. On rappelle que pour tout $f\in \mathrm{L}(H)$, l'endomorphisme $f^{\ast }f$ est hermitien et positif. Donnez une base propre pour $g:=v^{\ast }v$. Déterminez la racine carrée $\rho$ de $g$ en explicitant la matrice de $\rho$ dans une base de votre choix.