Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par une somme

Dans ce cas, la suite (u_n)_n∈ℕ est définie par :

$\mathrm{\forall }n{u}_n=\sum _{k=1}^{n}f(k)$

ou, sous réserve de convergence, par :

$\mathrm{\forall }n{u}_n=\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}f(k)$.

Nous allons, à titre d’illustration, traiter deux exemples très classiques que l’on rencontre assez souvent. Les autres cas pourront se traiter de la même façon.

Chacun des deux exemples sera traité de façon différente pour mettre en œuvre deux méthodes différentes. Le premier exemple utilisera un encadrement par des intégrales et le deuxième exemple utilisera un encadrement grâce à l’inégalité des accroissements finis. (On peut aussi traiter ces deux exemples — et étendre le premier au cas α > –1 — par le théorème de Stolz-Cesàro.)

Exemple 1

Soit α > 0 et soit (u_n)_n∈ℕ la suite définie par :

$\mathrm{\forall }n{u}_n=\sum _{k=1}^n{k}^{\alpha }$.

Nous allons encadrer u_n par des intégrales.

Considérons pour x ≥ 0, la fonction f(x) = x^α. On a alors f’(x) = αx^α–1 > 0.

La fonction f est donc croissante.

$\underset{k-1}{\overset{k}{\int }}{x}^{\alpha }\mathrm{d}x⩽k^{\alpha }⩽\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{x}^{\alpha }\mathrm{d}x$

$\sum _{k=1}^n\underset{k-1}{\overset{k}{\int }}{x}^{\alpha }\mathrm{d}x⩽\sum _{k=1}^n{k}^{\alpha }⩽\sum _{k=1}^n\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{x}^{\alpha }\mathrm{d}x$

$\underset{0}{\overset{n}{\int }}{x}^{\alpha }\mathrm{d}x⩽u_n⩽\underset{1}{\overset{n+1}{\int }}{x}^{\alpha }\mathrm{d}x$,

ce qui donne :

$\frac{n^{\alpha +1}}{\alpha +1}⩽u_n⩽\frac{(n+1{)}^{\alpha +1}-1}{\alpha +1}$.

Or $(n+1{)}^{\alpha +1}\sim n^{\alpha +1}$ et $1=o\left(n^{\alpha +1}\right)$ donc dans l'encadrement ci-dessus, la suite majorante est équivalente à la suite minorante. D’après le théorème de l’encadrement, on en déduit :

Modèle:Encadre

Exemple 2

Soit α > 1. Nous savons qu'alors, la série de Riemann :

$\sum _k\frac{1}{k^{\alpha }}$

converge.

Nous pouvons donc définir la suite (u_n)_n∈ℕ par :

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}{u}_n=\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{\alpha }}$.

Considérons la fonction f définie sur l’ensemble des réels strictement positifs par :

$f(x)=\frac{-1}{(\alpha -1)x^{\alpha -1}}$.

Cette fonction est dérivable, de dérivée :

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^{\alpha }}$.

En appliquant l’inégalité des accroissements finis sur l’intervalle [k, k+1], on obtient :

$\mathrm{\forall }k\ge 1\frac{1}{(k+1{)}^{\alpha }}⩽f(k+1)-f(k)⩽\frac{1}{k^{\alpha }}$

donc

$\mathrm{\forall }k>1f(k+1)-f(k)⩽\frac{1}{k^{\alpha }}⩽f(k)-f(k-1)$

et en sommant les trois membres de k = n > 1 jusqu'à k = p :

$\sum _{k=n}^p(f(k+1)-f(k))⩽\sum _{k=n}^p\frac{1}{k^{\alpha }}⩽\sum _{k=n}^p(f(k)-f(k-1))$.

Par télescopage, il nous reste :

$f(p+1)-f(n)⩽\sum _{k=n}^p\frac{1}{k^{\alpha }}⩽f(p)-f(n-1)$

et en faisant tendre p vers +∞ :

$\mathrm{\forall }n>1-f(n)⩽u_n⩽-f(n-1)$.

Or

$-f(n)=\frac{1}{(\alpha -1)n^{\alpha -1}}$

et

$-f(n-1)=\frac{1}{(\alpha -1)(n-1{)}^{\alpha -1}}\sim \frac{1}{(\alpha -1)n^{\alpha -1}}$.

D’après le théorème de l’encadrement, on en déduit :