Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par une intégrale

Modèle:Chapitre

Nous commencerons par un exemple simple à titre d’introduction.

Exemple 1

Soit à trouver un équivalent de la suite (u_n)_n∈ℕ définie par :

$\mathrm{\forall }n{u}_n=\underset{1}{\overset{\mathrm{e}}{\int }}{\ln }^{n}x\mathrm{d}x$.

Recherchons une relation de récurrence entre u_n+1 et u_n à l’aide d’une intégration par parties.

$\begin{array}{cc}{u}_{n+1}& =\underset{1}{\overset{\mathrm{e}}{\int }}{\ln }^{n+1}x\mathrm{d}x\\ & =\underset{1}{\overset{\mathrm{e}}{\int }}1\times {\ln }^{n+1}x\mathrm{d}x\\ & ={[x\times {\ln }^{n+1}x]}_1^{\mathrm{e}}-\underset{1}{\overset{\mathrm{e}}{\int }}x\times \frac{n+1}{x}{\ln }^{n}x\mathrm{d}x\\ & =\mathrm{e}-(n+1)\underset{1}{\overset{\mathrm{e}}{\int }}{\ln }^{n}x\mathrm{d}x\\ & =\mathrm{e}-(n+1)u_n.\end{array}$

Nous avons obtenu la relation de récurrence :

$u_{n+1}=\mathrm{e}-(n+1)u_n$.

On en déduit que la suite $(u_n)$ tend vers 0, car

$0\le u_n=\frac{\mathrm{e}-u_{n+1}}{n+1}\le \frac{\mathrm{e}}{n+1}$,

puis, qu'elle est équivalente à $\frac{\mathrm{e}}{n}$, car

$u_n=\frac{\mathrm{e}-u_{n+1}}{n+1}=\frac{\mathrm{e}+o(1)}{n+1}\sim \frac{\mathrm{e}}{n}$.

On peut donc conclure :

Nous allons maintenant étudier une méthode permettant de trouver un équivalent de certaines suites définies par une intégrale. Cette méthode, qui n’est pas générale, se rencontre dans certains problèmes portant sur le calcul intégral comme les problèmes sur l’intégrale de Wallis.

Nous exposerons cette méthode dans l'exemple suivant en la décomposant par étape, chaque étape faisant généralement l’objet d’une question séparée dans les problèmes où cette méthode est utilisée.

Exemple 2

Modèle:Wikipédia Essayons de trouver un équivalent de la suite d’intégrales dont le terme général est donné par :

$I_n=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x$

(égal, par changement de variable $y=\frac{\pi }{2}-x$, à $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}y\mathrm{d}y$).

Étape 1

Nous établirons une relation de récurrence entre $I_{n+2}$ et $I_n$. Ceci s’obtient grâce à une intégration par parties.

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n+2}x\mathrm{d}x& =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos x{\cos }^{n+1}x\mathrm{d}x\\ & ={[\sin x{\cos }^{n+1}x]}_0^{\frac{\pi }{2}}+(n+1)\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2}x{\cos }^{n}x\mathrm{d}x.\end{array}$

Compte tenu de l'égalité ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ et après simplification, nous obtenons :

$I_{n+2}=(n+1)(I_n-I_{n+2})$,

ce qui donne finalement :

$\mathrm{\forall }n{I}_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}{I}_n$.

Étape 2

Il nous faut trouver une suite constante (C_n)_n∈ℕ dont le terme C_n s’exprime en fonction de I_n, de I_n+1 et de n.

Cette suite est :

$C_n=(n+1)I_n{I}_{n+1}$.

En effet :

$C_{n+1}=(n+2)I_{n+1}{I}_{n+2}=(n+2)I_{n+1}\frac{n+1}{n+2}{I}_n=C_n$.

La valeur de la constante est :

$C_0=(0+1)I_0{I}_{0+1}=I_0{I}_1$.

Or :

$I_0=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}1\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}$

$I_1=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos x\mathrm{d}x=1$.

On obtient donc :

$C_0=I_0{I}_1=\frac{\pi }{2}$.

On en déduit alors la relation :

$\mathrm{\forall }n(n+1)I_n{I}_{n+1}=\frac{\pi }{2}$.

Étape 3

Cherchons à encadrer le rapport :

$\frac{I_{n+1}}{I_n}$

par deux suites convergeant vers 1.

On peut déjà remarquer que la suite $(I_n)$ est strictement positive et décroissante. En effet, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

$0<x<\frac{\pi }{2}\Rightarrow 0<\cos x<1\Rightarrow 0<{\cos }^{n+1}x<{\cos }^{n}x$ donc (d'après les propriétés de l'intégrale d'une fonction continue) :

$0<\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n+1}x\mathrm{d}x<\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x$.

On a donc :

$0<I_{n+2}<I_{n+1}<I_n$,

d'où

$\frac{n+1}{n+2}=\frac{I_{n+2}}{I_n}<\frac{I_{n+1}}{I_n}<1$.

Nous pouvons donc conclure :

$I_{n+1}\sim I_n$.

Étape 4

Compte tenu de l’étape 2, on en déduit :

$I_n^2\sim \frac{\pi }{2n}$.

On peut extraire la racine des deux membres. On peut donc conclure :