Équations et fonctions du second degré/Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)

Les fonctions trinôme

Modèle:Attention

De la définition précédente, on déduit qu'une fonction trinôme est définie sur $ℝ$ tout entier.

Être ou ne pas être une fonction trinôme

<quiz> { Parmi les fonctions suivantes, lesquelles peuvent être classées dans l’ensemble des fonctions polynômes du second degré ? } +$f_1:x\mapsto 2x^2+3x+1$ +$f_2:x\mapsto x^2-2x+2$ -$f_3:x\mapsto 2x+1$ ||f3 n’est pas une fonction trinôme car il n'y a pas de coefficient en x² (a = 0) -$f_4:x\mapsto -x^3+2x-5$ ||f4 n’est pas une fonction trinôme car il y a un terme en x³ +$f_5:x\mapsto x^2+3$ +$f_6:x\mapsto 3x^2-x$

{Préciser les coefficients des fonctions trinôme suivantes. | type="{}"} $f_1:x\mapsto -2x^2+3x-5$ a={ -2_2 } b={ 3_2 } c={ -5_2 } $f_2:x\mapsto x^2-5x+1$ a={ 1_2} b={ -5_2} c={ 1_2} $f_3:x\mapsto 3x+10x^2-7$ a={ 10_2} b={ 3_2} c={ -7_2} </quiz>

Modèle:Principe

Variations d'une fonction trinôme

On retrouvera cette forme canonique au chapitre suivant

Complément : dérivée

Pour trouver le tableau de variations d'une fonction trinôme, il suffit de la dériver. Soit le trinôme $f:x\mapsto a{x}^2+bx+c$ où $a\ne 0$.

Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=2ax+b$.

La dérivée de $f$ s'annule en $x=-\frac{b}{2a}$

Représentation graphique d'une fonction trinôme

Allure de la parabole

Du tableau de variations trouvé plus haut, on peut déduire la représentation graphique de la fonction trinôme.

$a>0$	$a<0$

Cette parabole admet un axe de symétrie : la droite d'équation x = x_S.

Sommet

Le point de coordonnées $(-\frac{b}{2a};-\frac{b^2-4ac}{4a})$ est le sommet de la parabole.

• Si a > 0, alors l'extremum de f est un minimum et le sommet est le point le plus bas de la parabole.
• Si a < 0 alors l'extremum de f est un maximum et le sommet est le point le plus haut de la parabole.

Liens

• Équation du second degré sur Wikipédia, on y trouve les démonstrations des théorèmes de ce cours. Un peu difficile néanmoins.
• Fonction du second degré sur Wikipédia, plus élémentaire que le précédent. Une illustration graphique intéressante