Équations et fonctions du second degré/Équations du second degré

Définitions

Discriminant et racines

On a déjà vu au chapitre précédent que la forme canonique d'une fonction trinôme fournit deux valeurs importantes dans son tableau de variations (les coordonnées du sommet de la parabole). Modèle:Définition

On peut d'ailleurs la retrouver en commençant par faire apparaître le début d'un carré parfait : Modèle:Wikipédia $\begin{matrix} f (x) & = a x^{2} + b x + c \\ = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) \\ = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a}] \\ = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}] \\ = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - (\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}})] \\ = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}] . \end{matrix}$

Modèle:Exemple

Cette forme canonique permet en outre de trouver facilement les racines de $f$ , c'est-à-dire résoudre l'équation $(E) : f (x) = 0$ d'inconnue $x$ .

En effet,

(E) \Leftrightarrow a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}] = 0

donc (comme

a \neq 0

)

(E) \Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}} = 0 \Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{Δ}{4 a^{2}}

.

Sous cette forme, il est bien plus simple de résoudre l'équation en distinguant différents cas :

si $Δ > 0, (E) \Leftrightarrow [x + \frac{b}{2 a} = \sqrt{\frac{Δ}{4 a^{2}}} ou x + \frac{b}{2 a} = - \sqrt{\frac{Δ}{4 a^{2}}}] \Leftrightarrow [x = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} ou x = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}]$ ;
si $Δ = 0, (E) \Leftrightarrow x = - \frac{b}{2 a}$ ;
si $Δ < 0$ , il ne peut pas y avoir de racine réelle, puisqu’un carré ne peut pas être strictement négatif.

Finalement, voici ce qu’il faut absolument retenir :

Modèle:Théorème

On remarque que dans le cas $Δ = 0$ , $x_{0} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ . On dit que la racine est double.

Méthode du Produit-Somme

En plus de la forme canonique, la forme factorisée peut également permettre de facilement résoudre l'équation $(E) : f (x) = 0$ d'inconnue $x$ . Modèle:Définition Modèle:WikipédiaLa méthode consiste à former $b$ dans la fonction trinôme $a x^{2} + b x + c$ à partir de la somme de $m$ et $p$ , entiers dont le produit est égal à $a c$ . Modèle:Exemple

Conséquences graphiques

Modèle:Principe

Si $Δ < 0$ alors il n'y a pas d'intersection entre $𝒞$ et l’axe des abscisses.
Si $Δ = 0$ alors $𝒞$ et l’axe des abscisses admettent un point d'intersection, de coordonnées $(- \frac{b}{2 a}; 0)$
Si $Δ > 0$ alors $𝒞$ et l’axe des abscisses admettent deux points d'intersection, de coordonnées $(\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}; 0)$ et $(\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}; 0)$