Équation différentielle/Exercices/Application en démographie

Depuis 1950, la population d'un pays a un taux annuel moyen de natalité de 20 enfants pour Modèle:Unité et un taux annuel moyen de mortalité de 15 pour Modèle:Unité.

De plus, chaque année, en moyenne Modèle:Unité viennent s'installer dans le pays.

On note $P(t)$ la population de ce pays en millions d'habitants, à l'instant $t$ exprimé en années (avec $t\ge 1950$).

1. Justifier que $P(t+1)-P(t)=\frac{1}{200}P(t)+0,1$

2. On suppose que P est dérivable sur $[1950,+\mathrm{\infty }[$.

Justifier que l’on puisse approcher $P(t+1)-P(t)$ par $P^{\prime }(t)$.

3. Que devient alors la relation du 1 ?

4. Déterminer alors la fonction P sachant que $P(1950)=30,5$.

5. Estimer la population en 2008, puis en 2050.

Remarque : Ce problème peut également être modélisé avec une suite récurrente.