Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables

Équation différentielle linéaire du deuxième ordre avec second membre

Théorème fondamental : existence et unicité

Modèle:Théorème

Ce théorème est démontré dans Calcul différentiel/Équations différentielles#Équations différentielles linéaires.

Équation homogène, résolution

Dimension de l'espace des solutions

Modèle:ThéorèmeOn peut déterminer l’ensemble des solutions de $(E_0)$ en connaissant 2 solutions particulières $u$ et $v$ linéairement indépendantes.

Toute solution $x$ de $(E_0)$ s'écrit alors : $x=\lambda u+\mu v$.

Résolution par changement de fonction, si l'on connait une solution particulière

Soit $u$ une solution particulière de $(E_0)$, ne s'annulant pas sur l'ensemble $I$. Pour trouver une seconde solution linéairement indépendante, on réalise le changement de fonction :

$v=zu$, avec $z$ la seconde fonction à trouver, de classe $C^2$.

On a alors :

$v^{\prime }=z^{\prime }u+z{u}^{\prime }$ et $v^{″}=z^{″}u+2z^{\prime }{u}^{\prime }+z{u}^{″}$

En reportant ces égalités dans $(E_0)$, on obtient : $z^{″}u+(2u^{\prime }+au)z^{\prime }+(u^{″}+a{u}^{\prime }+bu)z=0$

et comme $u$ est solution de $(E_0)$, le terme en $z$ s'annule, et il reste à déterminer z solution de

$z^{″}+(2u^{\prime }+au)z^{\prime }=0$

qui est une équation différentielle linéaire du premier ordre en $z^{\prime }$ normalisée sur $I$. On déduit ainsi $z$ en intégrant $z^{\prime }$.

Équation complète, résolution

Modèle:ThéorèmeÀ présent, on connait deux solutions particulières $u$ et $v$ de $(E_0)$, linéairement indépendantes.

On sait que toute solution de $(E_0)$ se met sous la forme $x=\lambda u+\mu v$.

On applique alors la méthode de variation des deux constantes pour trouver une solution particulière de $(E)$.