Fonctions d'une variable réelle/Limites

Remarque : Pour une compréhension intuitive de la notion de limite, voyez les premiers chapitres du cours Limites d'une fonction.

Soient $𝒟$ une partie de $ℝ$, $f$ une fonction de $𝒟$ dans $ℝ$, et $a\in \overline{ℝ}:=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$ un point adhérent à $𝒟$.

Les deux cas les plus fréquents de cette notion de topologie générale sont $𝒟=$ un intervalle réel ou (pour une suite) $𝒟=\mathbb{N}$ ; il suffit, pour ces deux cas, de savoir que :

• aucun point n'est adhérent à $\varnothing$ ;
• si $𝒟$ est un intervalle non vide d'extrémités $\alpha ,\beta \in \overline{ℝ}$, l'ensemble des points de $\overline{ℝ}$ adhérents à $𝒟$ est $𝒟\cup \{\alpha ,\beta \}$ ;
• l'ensemble des points de $\overline{ℝ}$ adhérents à $\mathbb{N}$ est $\mathbb{N}\cup \{+\mathrm{\infty }\}$.

Définitions formalisées

Limite finie en un point

En français, on pourrait dire que $f$ a pour limite $l$ en $a$ si, pour un intervalle $I$ choisi autour de $l$ aussi petit que l’on veut, il existe un intervalle de valeurs de $x$ autour de $a$ pour lequel tous les $f(x)$ appartiennent à $I$.

On note alors $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=l$ ou, de manière plus condensée, $\underset{a}{\lim }f=l$. Modèle:Remarque Modèle:Clr

Limite infinie en un point

En français, cela revient à dire que, aussi grand (ou petit) qu'on prenne un réel $M$, en se rapprochant suffisamment de $a$, on finit par dépasser la valeur de $M$. $f$ prend ainsi des valeurs infiniment grandes (ou petites) au voisinage de $a$.

On note :

• $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ ou $\underset{a}{\lim }f=+\mathrm{\infty }$ si $f$ a pour limite $+\mathrm{\infty }$ en $a$
• $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ ou $\underset{a}{\lim }f=-\mathrm{\infty }$ si $f$ a pour limite $-\mathrm{\infty }$ en $a$

Limite finie en l'infini

En français, tout intervalle ouvert contenant $l$ contient aussi toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ suffisamment :

• grand si $f$ a pour limite $l$ en $+\mathrm{\infty }$. On note alors $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=l$ ou $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }f=l$ ;
• petit si $f$ a pour limite $l$ en $-\mathrm{\infty }$. On note alors $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=l$ ou $\underset{-\mathrm{\infty }}{\lim }f=l$.

Limite infinie en l'infini

En français, cela revient à dire que tout intervalle $[M,+\mathrm{\infty }[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment :

• grand si $f$ a pour limite $+\mathrm{\infty }$ en $+\mathrm{\infty }$. On note alors $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ ou $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }f=+\mathrm{\infty }$ ;
• petit si $f$ a pour limite $+\mathrm{\infty }$ en $-\mathrm{\infty }$. On note alors $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ ou $\underset{-\mathrm{\infty }}{\lim }f=+\mathrm{\infty }$.

En français, cela revient à dire que tout intervalle $]-\mathrm{\infty },M]$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment :

• grand si $f$ a pour limite $-\mathrm{\infty }$ en $+\mathrm{\infty }$. On note alors $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ ou $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }f=-\mathrm{\infty }$ ;
• petit si $f$ a pour limite $-\mathrm{\infty }$ en $-\mathrm{\infty }$. On note alors $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ ou $\underset{-\mathrm{\infty }}{\lim }f=-\mathrm{\infty }$.

Limite « épointée » en un point

On la note alors $\underset{\underset{x=a}{x\to a}}{\lim }f(x)$.

On a donc :

• si $a\notin 𝒟$, $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=l\iff \underset{\underset{x=a}{x\to a}}{\lim }f(x)=l$ ;
• si $a\in 𝒟$, $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=l\iff \underset{\underset{x=a}{x\to a}}{\lim }f(x)=l\text{ et }f(a)=l$.

Limite « unilatérale » en un point

• 
• 
• 
• 

On définit de même la limite à droite en remplaçant $]-\mathrm{\infty },a[$ par $]a,+\mathrm{\infty }[$.

On note (lorsqu'elles existent) :

• $\underset{\underset{x<a}{x\to a}}{\lim }f(x)$ ou $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$ ou $\underset{a^{-}}{\lim }f$ la limite à gauche ;
• $\underset{\underset{x>a}{x\to a}}{\lim }f(x)$ ou $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$ ou $\underset{a^{+}}{\lim }f$ la limite à droite.

Théorèmes sur les limites

Premières propriétés

Modèle:Propriété C'est une conséquence immédiate de la propriété ci-dessous « Limites et relation d'ordre », appliquée à $g=f$.

On va maintenant voir comment caractériser une limite de fonction à partir de limite de suite.

Limites et opérations

Ces propriétés sont aussi valables (et se démontrent de la même façon) pour les limites à droite et à gauche, et pour le cas $a=\pm \mathrm{\infty }$.
Pour traiter des limites infinies, c'est en fait très intuitif, et voici quelques cas de figure:

• $l+(+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$ si $l\ne -\mathrm{\infty }$
• $l\times (+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$ si $l>0$
• $l\times (+\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$ si $l<0$
• $\frac{l}{+\mathrm{\infty }}=0$ si $l$ est finie.
• Les cas avec $-\mathrm{\infty }$ sont analogues mais en changeant les signes.

Tous les cas ne sont pas traités ici, on va voir dans la partie d'après qu'il n’existe en fait pas de formule générale pour certaines formes, appelées formes indéterminées.

Formes indéterminées

Il existe certaines formes de limite où il est n’est pas possible de conclure directement en utilisant des opérations sur les limites, ce sont les formes indéterminées (FI) :

• $\frac{0}{0}$
• $\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}$
• $+\mathrm{\infty }-(+\mathrm{\infty })$
• $+\mathrm{\infty }+(-\mathrm{\infty })$
• $0\times (\pm \mathrm{\infty })$

Notons que cette dernière forme se ramène aux deux premières. En effet, multiplier par l'infini équivaut à une division par $0$. Et aussi, multiplier par $0$ équivaut à une division par l'infini.

Règles opératoires pour lever l'indétermination :
Voici quelques règles opératoires pour lever les FI :

• Fonctions polynomiales et rationnelles :

On a la règle « des monômes de plus haut degré » qui n'est valable qu'en l'infini:
Modèle:Propriété (démonstration à faire) Exemples :
1/ Soit $f:x\mapsto x^2-2x^3+x-5$. Le monôme de plus haut degré est $-2x^3$.
Alors $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }-2x^3=-\mathrm{\infty }$
et de même : $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }-2x^3=+\mathrm{\infty }$.
2/ Soit $g:x\mapsto \frac{x^2-2x^3+x-5}{x^3-x+7}$. Les monômes de plus hauts degrés sont $-2x^3$ et $x^3$.
Alors $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{-2x^3}{x^3}=-2$.

• Factorisation par le terme « le plus fort en l'infini » :
  (à faire)
• Règle de L'Hôpital :

Elle permet de simplifier les FI $\frac{0}{0}$ et $\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}$. Consulter « Règles de L'Hôpital » au chapitre Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité.

Limite d'une fonction composée

Modèle:Propriété Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Exemple

Limites et relation d'ordre

Les trois théorèmes qui suivent sont valables mutatis mutandis pour $a=\pm \mathrm{\infty }$. Ils se généralisent même à des fonctions définies sur une partie $𝒟$ d'un espace topologique quelconque $X$, avec $a\in X$ adhérent à $𝒟$.

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Par exemple (pour $g$ ou $f$ constante) :

• si $\underset{a}{\lim }f<M$ alors $\mathrm{\exists }\eta >0\mathrm{\forall }x\in ]a-\eta ,a+\eta [\cap 𝒟f(x)<M$ ;
• si $\underset{a}{\lim }g>m$ alors $\mathrm{\exists }\eta >0\mathrm{\forall }x\in ]a-\eta ,a+\eta [\cap 𝒟g(x)>m$.

En affaiblissant la contraposée du théorème, on en déduit la propriété de passage à la limite dans les inégalités : Modèle:Corollaire Par exemple (pour $g$ ou $f$ constante, et en remplaçant $𝒟$ par $𝒟\cap ]a-\eta ,a+\eta [$) :

• si $\mathrm{\forall }x\in 𝒟f(x)\ge m$ alors $\underset{a}{\lim }f\ge m$ ;
• si $\mathrm{\forall }x\in 𝒟g(x)\le M$ alors $\underset{a}{\lim }g\le M$.

Attention ! Ce corollaire devient faux si l'on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes.

Contre-exemple : $f:x\mapsto \frac{1}{x}$ est à valeurs strictement positives sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, mais $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }f=0>0$.

Les deux théorèmes suivants sont très utiles dans la pratique :

Le nom de « théorème des gendarmes » vient de l'analogie suivante : les fonctions $f$ et $h$ jouent le rôle de deux gendarmes qui encadrent le bandit (la fonction $g$) et qui l'obligent à aller en prison (la limite $L$).

Dans les applications de ce théorème et du suivant, si les inégalités entre fonctions ne sont réalisées que sur une partie de $𝒟$, on peut toujours restreindre les fonctions à ce domaine plus petit, pourvu que $a$ y soit encore adhérent.

Exemple. En appliquant le théorème à

$g:x\mapsto \frac{\sin x}{x}$, encadrée sur $𝒟:=]0,+\mathrm{\infty }[$ par

$f:x\mapsto \frac{-1}{x}$ et $h:x\mapsto \frac{1}{x}$ (car $-1\le \sin x\le 1$),

on trouve, puisque $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{-1}{x}=0$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x}=0$ :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$.

Exemple : Soit $g:x\mapsto \frac{x}{2-\cos x}$.

Comme $\mathrm{\forall }x\in ℝ-1\le -\cos x\le 1\Rightarrow 0<2-\cos x\le 3\Rightarrow \frac{1}{3}\le \frac{1}{2-\cos x}\Rightarrow \frac{x}{3}\le g(x)$ et comme $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x}{3}=+\mathrm{\infty }$, on en déduit que $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }g=+\mathrm{\infty }$.

Théorème de la limite monotone

On utilise la convention suivante, pour une partie non vide $E$ de $ℝ$ :

• si $E$ est non majorée, alors $\sup E=+\mathrm{\infty }$ ;
• si $E$ est non minorée, alors $\inf E=-\mathrm{\infty }$.

Modèle:Théorème

Cf. Ramis, Deschamps et Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3, Masson, 1976, p. 119-120.

En particulier, une application monotone bornée sur un intervalle $]a,b[$ possède une limite finie à gauche et une limite finie à droite en tout point de cet intervalle, ainsi qu'une limite à droite en $a$ et une limite à gauche en $b$.