Application linéaire/Propriétés générales

Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.

Injectivité, surjectivité

Puisqu'une application linéaire de E dans F est un cas particulier de morphisme de groupes de (E, +) dans (F, +), on a la caractérisation ci-dessous de son injectivité (quant à la caractérisation de la surjectivité, elle est tautologique).

Image d'une base

Une base $(e_i{)}_{i\in I}$ de $E$ étant fixée, une application $u\in \mathrm{L}(E,F)$ est entièrement déterminée par la famille ${(u(e_i))}_{i\in I}$ de vecteurs de $F$. Plus précisément :

Par conséquent, toutes les propriétés de $u$ doivent pouvoir « se lire sur » l'image d'une base par $u$. Pour l'injectivité ou la surjectivité, cette « lecture » est simple : Modèle:Théorème

Propriétés de L(E, F)

À partir d'ici, le corps K des scalaires est supposé commutatif.

Structure d'espace vectoriel

Modèle:Théorème En particulier, si F est aussi de dimension finie alors L(E, F) l'est également.

Structure d'algèbre

En particulier, $(\mathrm{L}(E),+,\circ )$ est un anneau unifère.